Contents 55 1.2 Cardinality 1.3 Topology of the Euclidean space 5c and Digory the 901 1.5.1 Hausdorff distance and Gromoy-Hausdorff distance 1.5.2 Invariant of domain............... 2 Lebesgue measure 2.1 Exterior measure 。。 asurable ets 92 2.5 Sets of positive measure 3.1 urable 41 3.2 Simple functions 3.3 Littlewood'sThree principles,.,,,,,,, 30 4 Lebesgue's integration theory 4.】Integration nterchanging limits with integrals 4.4 Fubini's Theore 5 Differentiatic 5.2 Fundamental theorem of Calculus I 5.2.1 A detour:Bounded variation funetions......................50 6 Function spaces 6.1 6.11 6.12 A detour:Conveity ad Jense'inquaty 6.1.3 Completeness:Banach space... 62 3 Contents 1 Preliminary 5 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Cardinality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Topology of the Euclidean space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Metric space and Baire Category theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5 Continuous functions and Distance in metric space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5.1 Hausdorff distance and Gromov-Hausdorff distance . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5.2 Invariant of domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Lebesgue measure 17 2.1 Exterior measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Borel sets and Measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Linear transformation of measurable sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.5 Sets of positive measure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3 Measurable functions 27 3.1 Measurable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Simple functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.3 Littlewood’s Three principles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 4 Lebesgue’s integration theory 33 4.1 Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Interchanging limits with integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.3 Lebesgue v.s. Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.4 Fubini’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5 Differentiation 45 5.1 Monotone functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.2 Fundamental theorem of Calculus I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5.2.1 A detour: Bounded variation functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 5.3 Fundamental theorem of Calculus II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.4 Lebesgue Differentiation Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 6 Function spaces 59 6.1 L P spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 6.1.1 Normed vector space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 6.1.2 A detour: Convexity and Jensen’s inequality . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.1.3 Completeness: Banach space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 6.1.4 Separability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3