计算最小方差控制律简单的数学模型。SinHa,H.K.(1977)1]曾提出过应用Rosen- brock,H.H.的反乃氏阵(In verse Ny quist Arrag)法7I,将系统变换为主对 角线占优、偶合为最小的多个子系统，然后再应用Astro m所提出的求单变量系统最小方 差控制律的算法计算各子系统的最小方差控制律，应用这一方法的缺点是需要将已拟合的多 维模型进行变换，增加了计算工作量，对实际应用不便。如能通过离线辨识直接建立一偶 合较少又便于计算最小方差控制律的模型，则对工程上的实际应用是有利的。实际上由于多 变量系统中参数的个数较多，参数之间的偶合关系比单变量系统的要灵活些，因此完全可以 先固定一部份参数，再去拟合另一部分参数，这从应用的角度来看是可行的。为此我们选择 一个输出向量y(k)的系数阵为对角阵的CARMA模型来作为被控对象的数学模型。即， a1(1) a(2) 0 +(n）yk-+( y(k-2)+…+ a。(1) a。2) a1(a) b…bg +(、)yk-)=（ gn0tg u(k-1-1)+…+ 0 ap (a) b…b9) ba…be) c,1 )uk--n-D+e)+（ e(k-1)+… bsi)...bsg) cfa) 0 e(k-n) (1) 0 cfa) 简写成： A(Z-1)y(k)=Z-IB(Z1)u(k-1)+C(Z1)e(k) (2) 式中y(k)为P维输出向量，u(k)为P维输入控制向量，{(k)}为一随机干扰，为一均值为 零，方差为R,相互独立的高斯白燥声序列，为系统的滞后时间，乙~1为向后移算子， A(Z)=I+AiZ.+AnZ B(Z-1)=B。+B:Z-1+…+BnZ-n C(Z-I)=I+CZ+.+CnZ- (3) 这里A1…An,CCn为对角阵。 为了保证当系统的参数波动时，闭环系统仍能稳定的工作，要求detB(Z-1),detC(Z) 的所有零点均在Z平面的单位园内。 这类拟合模型的最小方差控制律，可以仿照单变量系统的最小方差控制律计算，将原系 统(1)式分解为P个子系统有： a,(Z-1)y,(k)=Z-1B)(Z-1)u(k-1)+C,(Z-1)心，(k) (i=1,2…p) (4) 式中 a:(Z-1)=1+af1Z-1+…+afnZ-a C:(Z-1)=1+C1Z-1+C4nZ-n B(1)(Z-1)为B(Z-1)中相应的第i个行向量 计算最小方差控制律的性能指标为使下列损失函数为最小，即 V=minE{(y(k+1+1)-y,(k+1+1))〔y(k+1+1)-y,(k+I+1) u(k) (5) 37计算最小方差 控 制 律 简单的数学模 型 。 ， “ ’ 曾提 出过应用 。 ， 的 反 乃 氏 阵 法 ’ ， 将 系统 变换 为主对 角线 占优 、 偶 合为最 小 的 多个子 系统 ， 然后 再应用 所提 出的求单变最 系统最 小方 差控 制律的 算法计 算 各子 系统 的 最 小方 差 控 制 律 ， 应用 这一方 法的缺点是 需要将 巳拟 合的 多 维模型进 行 变换 ， 增加 了计 算工 作量 ， 对实 际应用 不便 。 如能通 过 离 线 辨识 直 接建立一偶 合较少又便 于计 算最 小方 差控 制律的模 型 ， 则对工 程 上的 实际应用 是 有利 的 。 实际 上 由于 多 变量 系统 中参数 的 个数较 多 ， 参数之 间 的偶 合关系 比 单变量 系统 的要 灵 活些 ， 因此 完 全可 以 先 固定一部份 参数 ， 再去拟合 另一部分 参数 ， 这从 应 用 的角度来看是可 行的 。 为此 我们选 择 一个输 出 向量 的系数 阵为对角 阵的 模 型来 作为被 控 对 象的数学 模型 。 即 ， 卜 ，’ 一 … … 一 二 、 一 叹 ’ 圣 忿 … 、 ， 、 一 “ 一 一 十 … … ， 乏全 … 竺’ … 若君 ’ … … … … · 一 ‘一 二 ‘ ，· 之 ’ ‘ ， 、 · ‘ 一 · … ‘ 卜 一 ’ 、、、 荟 “ 一 一 。 、 奋 一 ‘ 简写 成 一 ‘ 一 ， 一 ， 一 一 ， 式 中 为 维输 出向量 ， 为 维 输入 控 制 向量 ， 仕 为一 随机干扰 ， 为一均值为 零 ， 方差 为 ， 相 互 独立的 高斯 白燥 声 序 列 ， 为系统的 滞后 时间 ， 一 ‘ 为 向后 移算子 ， 一 ’ 一 ， … 。 一 一 ‘ 一 ’ … 。 一 一 ‘ 一 ， … 一 这里 … 。 ， … 为 对角 阵 。 为 了保证 当系统 的 参数 波动 时 ， 闭环 系统仍能稳 定 的工 作 ， 要 求 。 一 ‘ ， 一 ’ 的 所有零点 均 在 平面 的 单位 园 内 。 这 类拟合模 型 的 最 小方 差 控 制律 ， 可 以 仿照 单变量 系统 的 最 小方 差 控 制律 计 算 ， 将原 系 统 又 式 分 解为 个子 系 统 有 ‘ 一 ‘ ‘ 二 一 乞》 一 ‘ 一 ‘ 一 ， 。 ‘ ， … 式 中 ‘ 一 ， ‘ ， 一 ‘ … ‘ 。 一 ‘ 一 ‘ ‘ 一 二 … ， 。 一 ‘ ， ’ 一 ‘ 为 一 ’ 中相 应 的 第 个 行 向量 计算最 小方差 控 制律 的性 能指标为使下 列 损 失 函数为最 小 ， 即 〔 一 ， 〕 ， 〔 一 ， 〕