3.22两支格波的特征 色散关系中频率较低的一支叫声学支或声频支,它很像 单原子链中的声学支;频率较高的一支则叫光学支。这两支 在一些特征点,如布里渊区中心(q=0)和边界 光频支 (q=±r/2a)的频率值可由式(320)算出,并标在图 (第)2 34中。可以看出,两支格波间有一频率禁带,即频率在 1(器 2B/M和√2B/m之间的格波是不能在晶体中传播的 当M=m时,频率禁带消失,这时双原子链的色散关系会回-2 到单原子链的情况 现将周期边界条件也应用于双原子链,设一维双原子链图34双原子镇的色散关系 有N个原胞,则: x2n+1=x2(n+N+ (3.21) 可得 e24=1即q=xl,1为整数 由于q限制在 <q≤,可得 N 可见在一维单式格子加上周期边界条件所得的两个结论,即q的取值应是分立的和 在简约布里渊区的范围内,q的取值数目等于原胞数,在一维双原子链同样适用。事实 上,上述两点结论在更复杂的晶格(原胞内含有更多的原子数)以及二维和三维的情况 均适用。 从上面分析可以看出,格波的支数等于原胞内的原子数也即自由度数(一维时, 个原子只有一个自由度),而波矢空间每个q都会在每支格波上对应一个频率,这样, 对晶格振动,我们可得如下结论 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶体中格波的支数=原胞内的自由度数 晶格振动的模式数=晶体的自由度数 上述结论也可推广到m维(如二维或三维)复式晶格情况,只不过,由于m维时 有m个互相正交的振动方向,所以每个原子有m个自由度:这样如果一个m维复式晶 格原胞数为N,每个原胞含P个不等效的原子,则:晶格振动波矢数为N,格波支数为 mp,这其中,m支为声学支,m(p-1)支为光学支,晶格振动的模式数则为mpN 323声学波和光学波3.2.2 两支格波的特征 色散关系中频率较低的一支叫声学支或声频支，它很像 单原子链中的声学支；频率较高的一支则叫光学支。这两支 在一些特征点，如布里渊区中心（ q = 0 ）和边界 （ ±= π 2/ aq ）的频率值可由式（3.20）算出，并标在图 3.4 中。可以看出，两支格波间有一频率禁带，即频率在 2β M/ 和 β /2 m 之间的格波是不能在晶体中传播的； 当 M = m 时，频率禁带消失，这时双原子链的色散关系会回 到单原子链的情况。 图 3.4 双原子链的色散关系 现将周期边界条件也应用于双原子链，设一维双原子链 有 N 个原胞，则： + 212 ++ 1)( = n Nn xx （3.21） 可得 1 2 = qNai e 即 l Na q π = ，l 为整数。 由于 q 限制在 , 22 a q a π π ≤<− 可得 22 N l N ≤<− 可见在一维单式格子加上周期边界条件所得的两个结论，即 q 的取值应是分立的和 在简约布里渊区的范围内，q 的取值数目等于原胞数，在一维双原子链同样适用。事实 上，上述两点结论在更复杂的晶格（原胞内含有更多的原子数）以及二维和三维的情况 均适用。 从上面分析可以看出，格波的支数等于原胞内的原子数也即自由度数（一维时，一 个原子只有一个自由度），而波矢空间每个 q 都会在每支格波上对应一个频率，这样， 对晶格振动，我们可得如下结论： 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶体中格波的支数=原胞内的自由度数 晶格振动的模式数=晶体的自由度数 上述结论也可推广到 m 维（如二维或三维）复式晶格情况，只不过，由于 m 维时 有 m 个互相正交的振动方向，所以每个原子有 m 个自由度；这样如果一个 m 维复式晶 格原胞数为 N，每个原胞含 p 个不等效的原子，则：晶格振动波矢数为 N，格波支数为 mp，这其中，m 支为声学支，m (p-1)支为光学支，晶格振动的模式数则为 mpN。 3.2.3 声学波和光学波 7