第94讲幂级数(1) 421 二、幂级数的收敛半径 如果幂级数∑ax不是仅在x=0一点收敛也不是在整个数轴上都收敛则必有一个 完全确定的正数R存在使得当|x|<R时幂级数∑ax绝对收敛;当|x|>R时,幂级 数∑ax发散我们称这个正数R为幂级数∑ax的收敛半径为方便起见,若幂级数 ∑ax仅在x=0点收敛,规定其收敛半径R=0;若它在整个数轴上都收敛,规定其收敛 半径R=+∞ 我们分以下四种情况,分别给出幂级数的收敛半径的求法 (1)对于幂级数∑a而言如果m|2:1=0或者mya|=p则该幂级数的收 敛半径R=(这里规定:当P=0时,R=+;当P=+∞时,R=0) 例2求 的收敛半径 解 p“加m/,+ I= lim (n+1)!〃2(n+1)=0, 故收敛半径R 例3求幂级数∑2=1r的收效半径R 解{|=2+g=/2+c=12=23(-1)/2 ,n为奇数, 故 1)” 6,n为偶数, im不存在但这并不意咪收敛半径R不存在,只是说比值法失效可转而考虑用根值 法因为imva,=my2+(=1,1 2 即 ,所以收敛半径R (2)对于有缺项的幂级数∑ax…(其中,k为某自然数,为某整数)而言只需令 x,转而研究幂级数∑a“的收做半径即可得知幂级数∑a的收敛半径R= 其中P=lm2|或者p= lim vIa 例4求∑21x“的收敛半径 解首先注意到所给级数缺少奇次幂的项,不能用例3,例4中求收敛半径的公式,应 该用比值判别法本身求R 设u(x)2n x, lim| -tI= lim I 当—0<1即|x|< 2