lim f,(Odr(0)=Y, icY=f()dr() 上述定义的积分满足以下性质: 3)∫y()+k(小4()=a!(dx()+sndx( (dr(sg(dr(=J)g0dF(),特别 EJ/(dx(=)( 实际上,对于零均值有右连续轨道的正交增量过程X(,F(O)=Ex()2,我们 所定义的积分1()=「((,f∈L2(dF)是L2(d)→L2的一个积分算子: ∫→I()∈L2。该算子满足线性(a·∫+B·g)=a·I()+B·I(g),且是保持内 积、范数不变,即(O.(g)2=(,g)1m),米。=/l2a° 例63.1:考虑线性随机微分方程: Y(1)+2 Y(0)=0 dt db 这里K(t),t≥0为零均值的有右连续轨道的正交增量过程,协方差函数为 x(s,)=min(,),求随机过程Y(1),t≥0的协方差函数。 Y(o)=2e-l-dY(u), I, (s, t)=4 e-s-me--udu= 2e-ste2ming sf t dX t Y b a n n = ∫ →∞ lim ( ) ( ) ，记 = ∫ 。 b a Y f (t)dX (t) 上述定义的积分满足以下性质： 1) ; ∫ = b a E f (t)dX (t) 0 2) ( ) ( ) ( ) ( ), ; [ , ] I t dX t X d X c b a c d = − ∫ 3) [ ] ; ∫ ∫ ∫ + = + b a b a b a αf (t) βg(t) dX (t) α f (t)dX (t) β g(t)dX (t) 4) ∫ ∫ = ∫ ，特别 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ b a b a b a E f (t)dX (t) g(t)dX (t) f (t) g(t) dF(t) _____ _______________ ∫ ∫ = b a b a E f (t)dX (t) f (t) dF(t) 2 2 。 实际上，对于零均值有右连续轨道的正交增量过程 X (t)， 2 F(t) = E X (t) ，我们 所定义的积分 是 的一个积分算子： 。该算子满足线性 ( ) ( ) ( ), ( ) I f f t dX t f L2 dF b a = ∫ ∈ 2 2 L (dF) → L 2 f → I( f ) ∈ L I(α ⋅ f + β ⋅ g) = α ⋅ I( f ) + β ⋅ I(g)，且是保持内 积、范数不变，即( ) ( ) 2 2 ( ), ( ) ( , ) L g L dF I f I g = f ， ( ) 2 2 ( ) L L dF I f = f 。 例 6.3.1：考虑线性随机微分方程： , (0) 0 ( ) ( ) 2 ( ) = − + Y = dt dX t Y t dt dY t 这里 为零均值的有右连续轨道的正交增量过程，协方差函数为 ，求随机过程 的协方差函数。 X (t),t ≥ 0 (s,t) min(s,t) ΓX = Y(t),t ≥ 0 ∫ − − = t t u Y t e dX u 0 ( ) ( ) 2 ( ) ， ( , ) 4 2 [ ] 1 ( ) 2min( , ) min( , ) 0 ( ) ( ) Γ = = − − − − − − + ∫ s t s t s t s u t u Y s t e e du e e 5