increment process)o 一般假定X(a)=0,若a=-0,假定lmX()=0。令F()=EX(),则 F(a)=0 R(S,1)=EX(s)X(O=F(min(s, D) t>S 则 0≤EX()-X(s)2=F()-F(s),故F()为单调非降函数。 设X()!∈ab]位零均值有右连续轨道的正交增量过程,F()=Ex()此 时即为方差函数,令L()={o)roF(<}.L(dF)是一个线性空间, 定义v/(,g(eL2(dF),(,g)=fo)gdF(),为L2(dF)空间上的内积() 由此内积还可以诱导出L2(dF)上的一个范数||,f∈L2, =(,n)3-0)a()。从而v/g∈L2,d(,g)=/-8度量了它们之 间的距离。L2(dF)也是一个Hbe空间。 对f()∈L2(dF),定义积分f(o)d(),分三步: 1.当f(1)=l1ea1(1)∈L2(dF)(其中cd[a,b)为示性函数,定义 ∫n(x(o)=x(d)-X( 2.当f()=∑kla1()∈L2(F)为简单函数,定义 ∑kl1ea1(x()=∑k(c)-X(d 3.()∈L2(dF),n()为简单函数使得lm()-f()aF()=0,由于 f()dx()为L2空间的基本列( Cauchy列),故彐}∈L2使得increment process)。 一般假定 X (a) = 0，若 a = −∞ ，假定 lim ( ) = 0 →−∞ X t t 。令 2 F(t) = E X (t) ，则 F(a) = 0 ( , ) ( ) ( ) (min( , ) 。 设 ， 则 ______ R s t = EX s X t = F s t ) t > s 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ≤ E X t − X s = F t − F s ，故 F(t) 为单调非降函数。 设 X (t),t ∈[a,b]位零均值有右连续轨道的正交增量过程， 2 F(t) = E X (t) 此 时即为方差函数，令 ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = < ∞ ∫ b a L (dF) f (t) f (t) dF(t) 2 2 。 是一个线性空间， 定义 ， ，为 空间上的内积 ， 由此内积还可以诱导出 上的一个 范 数 ( ) 2 L dF ( ), ( ) ( ) 2 ∀f t g t ∈ L dF ( , ) ( ) ( ) ( ) ______ f g f t g t dF t b a ∫ = ( ) 2 L dF (⋅,⋅) ( ) 2 L dF ⋅ ， ∀f ∈ L2 ， 2 1 2 2 1 ( , ) ( ) ( ) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∫ b a f f f f t dF t 。从而 2 ∀f , g ∈ L ，d( f , g) = f − g 度量了它们之 间的距离。 L2 (dF)也是一个 Hilbert 空间。 对 f (t) ∈ L2 (dF) ，定义积分∫ ，分三步： b a f (t)dX (t) 1. 当 ( 其 中 ) 为示性函数，定义 ； ( ) ( ) ( ) f t = I[c,d ] t ∈ L2 dF [c,d] ⊂ [a,b] ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ] I t dX t X d X c b a c d = − ∫ 2. 当 为简单函数，定义 ； ( ) ( ) ( ) 2 1 f t k I[ , ] t L dF n i i ci di = ∑ ∈ = ∑ [ ] ∫∑= = = − n i i i i b a n i kiI c d t dX t k X c X d i i 1 1 [ , ] ( ) ( ) ( ) ( ) 3. ∀f (t) ∈ L2 (dF) ， ∃f n (t) 为简单函数使得 lim ( ) ( ) ( ) 0 2 − = ∫ →∞ b a n n f t f t dF t ，由于 ∫ 为 空间的基本列 (Cauchy 列 ) ， 故 使 得 b a n f (t)dX (t) L2 ∃Y ∈ L2 4