例1证明瑕积分∫sm当a<2时收敛 sin t 证明 dt,由例6,该积分当a<2时收敛 §2无穷积分的性质与收敛判别 无穷积分的性质 (1)f(x)在区间[a,+∞)上可积,k— Const,则函数kf(x)在区 a,+∞)上可积,且J6(x)d=k∫f(xM (2)f(x)和g(x)在区间[a,+∞)上可积,→f(x)±g(x)在区间[a,+∞) 上可积,且(f±g) 了/±]g (3)无穷积分收敛的 Cauchy淮则:例 11 证明瑕积分 1 0 1 sin 1 dx x x  当  2 时收敛. 证明   + − = ==== 1 2 1 1 0 sin dt t t t x  , 由例 6 , 该积分当  2 时收敛. §2 无穷积分的性质与收敛判别 一 无穷积分的性质: ⑴ f (x) 在区间 [ a , +  ) 上可积 , k — Const , 则函数k f (x) 在区 [ a , +  ) 上可积 , 且  + = a k f(x)dx k  + a f (x)dx . ⑵ f (x) 和 g (x) 在区间 [ a , +  ) 上可积 ,  f (x)  g (x) 在区间 [ a , +  ) 上可积 , 且  +  = a ( f g)  +  a f  + a g . ⑶ 无穷积分收敛的 Cauchy 准则: