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有时可能用到一些别的表示法.例如 ∏I(a;-a) 表示所有<j的a-G因子的乘积,即 ∏I(a;-ai)=(a2-a1)(a3-a1)…(an-a1) 1<1<)<n (an 为zn(n-1)个因式之积 3数学归纳法我们知道,证明一个与自然数有关的性质E()对所有自然数成立,首先对数1 证明E(1)成立,然后在“归纳假设”之下,即假定数n具有性质E()来证明数7+1具有性质 E(m+1) 这种证明方法的可靠性在于自然数集N有下面性质 “完全归纳原理”设S为N的子集,而且满足 1)1∈S; 2)若n∈S,则7+1∈S 那么,S=N 自然数集N除了上面的“完全归纳原理”的性质外,还有一个很重要的性质 定理自然数集N的任一非空子集都有一个最小数 证设S是N的一个非空子集,于是有k∈S.因此集合 S∩{1,2,,}={s∈S|s≤ 是有限集,于是有最小数m 显然,m∈S,8∈Sk,则8≥m.又若n∈S,Sk,则7>k≥m.故m是S的最 小数 由这个定理,我们可以建立第二数学归纳法 为证明一个与自然数有关的性质E(m)对所有自然数成立,首先证明E(1)成立.在归纳假设对每 小于n的数k(<n)E(k)成立下,证明E(m)成立.那么,E(m)对所有自然数都成 事实上,假设使E(n)不成立的自然数集为S.若S非空,即S≠.则S中有最小数70 k<n0时,E(k)成立.故E(7o)成立,即70∈S.矛盾.因而我们知道第二归纳法成立 例1证明 Fibonacci序列a1=1,a2=2 通项公式! ! *#! !+ ! " # " ! $ " % + % ,&# - '( % " ./ $) 0 * % % 1#+%$ &2 + #+%" %, 3%" &2 4 - % & 2 ' ) - & ! *# !+!. 2" '( ! $ 5"!+ ' % - #+ &2 ! % /( & )