1806考试2解答 1(36分) gi=v-(iu)qi-(20)g2-(930)g3 q 194 (b)Q的零空间是0(Q的每一列有一主元),QT的零空间是1维的且由 q4的倍数组成(因为q4正交于q1,q和q3 QrQ=I的零空间也是0。QQ的零空间也是1维的,并且由q4的倍 数组成 (c)QQE=Qb q(q1+2g2+3q3+4g4) 1 =g2(q+2g+33+4) 2 q3(q1+2q+3q3+4q4) 投影p=Qx=q1+2q2+3q1806 ￾✁ 2 ✂✄ 1 ☎ 36 ✆✞✝ (a) q ∗ 4 = v − (q T 1 v)q1 − (q T 2 v)q2 − (q T 3 v)q3 q4 = q ∗ 4 kq ∗ 4 k (b)Q ✟✡✠☞☛✡✌✎✍ 0 ☎ Q ✟✡✏✡✑✡✒✡✓✡✑✡✔✡✕✖✝✘✗ QT ✟✡✠☞☛✡✌✎✍ 1 ✙✡✟✡✚☞✛ q4 ✟✢✜✢✣✢✤✢✥✦☎★✧✪✩ q4 ✫✢✬✢✭ q1, q2 ✮ q3 ✝✰✯ QTQ = I ✟✡✠☞☛✡✌✎✱✡✍ 0 ✯ QQT ✟✡✠☞☛✡✌✎✱✡✍ 1 ✙✡✟✡✗✳✲✡✚☞✛ q4 ✟✡✜ ✣✢✤✢✥✢✯ (c)QTQx = QT b =⇒ x = QT b ✗✴✧✪✵ x =    q T 1 (q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4) q T 2 (q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4) q T 3 (q1 + 2q2 + 3q3 + 4q4)    =    1 2 3    ✶✢✷ p = Qx = q1 + 2q2 + 3q3 ✯ 1