第二十八讲 Green函数( 第3页 ★凡是具有 f(x)6(x)dx=f(0) 性质的函数序列6(x),或是具有 m/ f(a)5n(a)dr=f(O) 性质的函数序列n(x),它们的极限都是δ函数 di (ar) n=7 第=3 (a)=exp -n2r2 图28.26函数的逼近序列举例 ★同样,有关δ函数的等式,也应当从积分意义下去理解.如 r6(x)=0 应理解为 f(r)rd(ar)dr=0, 6(-x)=6(x) 应理解为 f(a)8(-ad =/ f(r)8(r)dr 6(_x)=-6(x)应理解为 f(x)6(-x) f(x)6'(x)d 6(a)=6(x)应理解为 f(a)b(ar)dz f(a)t8()dr 9(x)(x)=90)(x)应理解为/f(x)g(l()d=/fx)[o(o)(x)]dr ★6函数还可以表示成初等函数的微商.由于 6()dx=n(x) 一 因此 o(x)=(x)Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 3 ê F ❵ Ý❆ ➢ lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δl(x) ✚✢Ý❆ ➢ limn→∞ Z ∞ −∞ f(x)δn(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δn(x) ✚✒❛➦ìÛ❜Ý δ ➾➚✛ (a) n √ π exp −n 2x 2 (b) n π 1 1 + n2x2 (c) sin nx πx Ï 28.2 δ ❝❞Õ❡❢❣❤✐❥ F ❦ ◗ ✚➢ ✛ δ ➾➚ ➦❧ ❨ ✚❙✚ ➪ ✵ Ú➩➴✎✏♠❰✴✛→ xδ(x)= 0 ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)xδ(x)dx= 0, δ(−x)=δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(−x)dx= Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx, δ 0 (−x)=−δ 0 (x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (−x)dx=− Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx, δ(ax)= 1 |a| δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(ax)dx= Z ∞ −∞ f(x)  1 |a| δ(x)  dx, g(x)δ(x)=g(0)δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)g(x)δ(x)dx= Z ∞ −∞ f(x) g(0)δ(x) dx. F δ ➾➚♥★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ ✩♣✛❅➹ Z x −∞ δ(x)dx = η(x), qr✚ δ(x) = dη(x) dx .