j=0,1,…,J-1 其中J为实际中要求分解的步数,最多不超过log2M,其逆变换为 ch-= I ckhm-2k+I ckhm-2k J.….1 注意到尺度系数和输入系列都是有限长度的序列,上述和实际上都只有有限项。若完全 按照上述公式计算,在经过J步分解后,所得到的+1个序列d1,j=0.1…,J-1和ck的 非零项的个数之和一般要大于M,究竟这个项目增加到了多少?下面来分析一下上述计算 过程。 =0时计算过程为 n=1n7-2k 不难看出 的非零值范围为 即有 k=-~-1+「M1-「M+N-个非零值。d的非零值范围相同。继续往下分解时,非零项出 现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如,若输入序 列长度为100,N=4,则d有51项非零,d有27项非零,d有15项非零,d有9项非 零,d有6项非零,有4项非零,c有4项非零。这样分解到6步后得到的序列的非 零项个数的总和为116,超过了输入序列的长度。在数据压缩等应用中,希望总的长度基本 不增加,这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度 可以采用稍微改变计算公式的方法,使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零 项数相等,并且可以完全重构。这种方法也相当于把输入序列进行延长(增加非零项),因 而称为延拓法。 只需考虑一步分解的情形,下面考虑第一步分解(=1)。将输入序列作延拓,若M为偶 数,直接将其按M为周期延拓;若M为奇数,首先令xM+1=0。然后按M+1为周期延拓。 作了这种延拓后再按前述公式计算,相应的变换矩阵已不再是H和G,事实上这时的变换 矩阵类似于循环矩阵。例如,当M=8,N4时矩阵H变为: h2h40000A1h2 hh2hh40000 0000h2h3h h2h40000h2 当M=7,N=4时矩阵H变为j = 0,1,  , J −1 其中 J 为实际中要求分解的步数，最多不超过 log2M，其逆变换为 n k k Z j n k k k Z j k j cn c h 2 c h 2 1  −   −  − = + j = J ,  ,1 注意到尺度系数和输入系列都是有限长度的序列，上述和实际上都只有有限项。若完全 按照上述公式计算，在经过 J 步分解后，所得到的 J+1 个序列 d , j = 0,1, , J −1 j k  和 j k c 的 非零项的个数之和一般要大于 M，究竟这个项目增加到了多少？下面来分析一下上述计算 过程。 j=0 时计算过程为 n k M n ck xnh 2 1 1 − = =  n k M n dk xn g 2 1 1 − = =  不 难 看 出 ， 1 k c 的 非 零 值 范 围 为 ： 1, 2 1, , 1,0, , 2 −      = − + − N M k   即 有       + − =      = − − + 2 1 2 1 2 N M M N k 个非零值。 1 k d 的非零值范围相同。继续往下分解时，非零项出 现的规律相似。分解多步后非零项的个数可能比输入序列的长度增加较多。例如，若输入序 列长度为 100，N=4，则 1 k d 有 51 项非零， 2 k d 有 27 项非零， 3 k d 有 15 项非零， 4 k d 有 9 项非 零， 5 k d 有 6 项非零， 6 k d 有 4 项非零， 6 k c 有 4 项非零。这样分解到 6 步后得到的序列的非 零项个数的总和为 116，超过了输入序列的长度。在数据压缩等应用中，希望总的长度基本 不增加，这样可以提高压缩比、减少存储量并减少实现的难度。 可以采用稍微改变计算公式的方法，使输出序列的非零项总和基本上和输入序列的非零 项数相等，并且可以完全重构。这种方法也相当于把输入序列进行延长（增加非零项），因 而称为延拓法。 只需考虑一步分解的情形，下面考虑第一步分解(j=1)。将输入序列作延拓，若 M 为偶 数，直接将其按 M 为周期延拓；若 M 为奇数，首先令 xM +1 = 0 。然后按 M+1 为周期延拓。 作了这种延拓后再按前述公式计算，相应的变换矩阵已不再是 H 和 G，事实上这时的变换 矩阵类似于循环矩阵。例如，当 M=8，N=4 时矩阵 H 变为： 3 4 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 3 4 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h 当 M=7，N=4 时矩阵 H 变为：