张余辉:单生过程的研究进展 通常,Q矩阵满足≥0(≠i,∑≠≤9:=一·本文只考虑全稳定且保守的单生Q矩 阵即对一切i>0有=∑9<∞如果Q矩阵全稳定保守且确定唯一的Q过程,则称此Q矩 阵是正则的 我们研究单生过程的理由主要是四个.一是由于通常单生过程是非对称的,而非对称过程的研究 通常要困难得多,因此,这给我们的研究带来挑战注意生灭过程是最简单的对称过程,而其研究也并 不简单(参见文献[1-9).二是由于单生Q矩阵的流出边界至多一个极点,从方程的观点来说,我们处 理的通常是单参数方程,这又给研究带来希望.三是单生过程本身有很强的应用背景,在生物学、人 口学、化学、经济学和电子通信等学科中都有重要的应用,在种群理论中又称该过程为向上非跨跳过 程(skip- free upwardly process、种群过程( population process)、带大灾难的生灭过程( birth and death process with catastrophes)或分枝大灾难过程( branching-catastrophe process),参见文献[10-15]:也有 人称之为广义生灭过程( generalized birth and death process),参见文献[16-18四是单生过程在理论 上是一类极其重要的 Markov过程,在粒子系统的研究中有将多维过程用某个一维过程去控制的方法, 在实际应用中,常常是将多维复杂过程与单生过程比较进行研究,这使得单生过程往往成为研究一般 Markov过程的切入点和有力工具,参见文献5,19-21] 这些年来,关于单生过程的研究己获得很多结果,研究的侧重点也不一样,一是主要用母函数的方 法研究灭绝概率等问题,自然要对Q矩阵施加条件,即硏究一些特定的单生Q矩阵(参见文献[0-15] 是对一般的单生Q矩阵使用分析方法研究其唯一性和遍历理论等经典问题;对其唯一性、常返性 遍历性和强遍历性,已得到了显式判别准则;对指数遍历性也得到显式充分条件,获得了其平稳分布 首次回返时(击中时)和占位时矩的显式表达参见文献⑤5.6,16和20-39.特别地,文献0研究了 单生过程 Poisson方程解的表示,以此作为工具,统一处理前面提到的单生过程经典问题的判别准则 还包括回返时的多项式阶矩、指数阶矩、灭绝时的分布和灭绝概率等 本文余下内容安排如下:第2节介绍单生过程唯一性的显式判别准则;第3节介绍单生过程常返 性的显式判别准则、回返(灭绝)概率和平均占位时;第4节介绍单生过程 Poisson方程解的显式表 示,举例说明如何以其为工具,统一处理单生过程的相关问题:第5节介绍单生过程的遍历性和强遍 历性的显式判别准则,以及回返时一阶矩的显式表达;第6节介绍单生过程回返时和生命时高阶矩的 显式表达、C遍历的判别准则以及平稳分布的显式计算公式;第7节介绍回返时(生命时)的指数阶矩 和 Laplace变换,并涉及我们最关心的部分—单生过程指数遍历性,给出单生过程指数遍历的一个显 式充分条件;最后一节回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的若干应用 单生过程其他方面的研究,如带吸收边界的单生过程,可以参见文献[20,23,27,29,而文献34则 是研究带移民的单生过程;文献[4,42】分别研究了生灭过程和单生过程分离切断( separation cutoff 现象发生的显式判别准则,这个方向的最新文章是文献[43],其工具是 Martin边界理论、位势理论 波动理论和谱分析.文献[44用对偶方法通过分支过程研究一类单生过程.文献45]研究单生过程 的中心极限定理.Ma)研究了单生Q矩阵的 Lipschitz范数.对于离散时间单生过程的研究,参见文 献[46,47].为节省篇幅,不再一一详细介绍这些内容.有兴趣的读者,可以参考相应的文献 本节最后,为后面叙述方便,引入一些单生过程的常用记号,这些记号源于文献[] 对0≤k<n,定义=∑=09,再定义 F(n)=1.F() ∑q)F,0 1) Ma Y T Lipschitz norm for Q-matrix of birth processes. Preprint, 2007张余辉: 单生过程的研究进展 通常, Q 矩阵满足 qij > 0 (j ̸= i), ∑ j̸=i qij 6 qi := −qii. 本文只考虑全稳定且保守的单生 Q 矩 阵, 即对一切 i > 0 有 qi = ∑ j̸=i qij < ∞. 如果 Q 矩阵全稳定保守且确定唯一的 Q 过程, 则称此 Q 矩 阵是正则的. 我们研究单生过程的理由主要是四个. 一是由于通常单生过程是非对称的, 而非对称过程的研究 通常要困难得多, 因此, 这给我们的研究带来挑战. 注意生灭过程是最简单的对称过程, 而其研究也并 不简单 (参见文献 [1–9]). 二是由于单生 Q 矩阵的流出边界至多一个极点, 从方程的观点来说, 我们处 理的通常是单参数方程, 这又给研究带来希望. 三是单生过程本身有很强的应用背景, 在生物学、人 口学、化学、经济学和电子通信等学科中都有重要的应用, 在种群理论中又称该过程为向上非跨跳过 程 (skip-free upwardly process)、种群过程 (population process)、带大灾难的生灭过程 (birth and death process with catastrophes) 或分枝大灾难过程 (branching-catastrophe process), 参见文献 [10–15]; 也有 人称之为广义生灭过程 (generalized birth and death process), 参见文献 [16–18]. 四是单生过程在理论 上是一类极其重要的 Markov 过程, 在粒子系统的研究中有将多维过程用某个一维过程去控制的方法, 在实际应用中, 常常是将多维复杂过程与单生过程比较进行研究, 这使得单生过程往往成为研究一般 Markov 过程的切入点和有力工具, 参见文献 [5, 19–21]. 这些年来, 关于单生过程的研究已获得很多结果, 研究的侧重点也不一样, 一是主要用母函数的方 法研究灭绝概率等问题, 自然要对 Q 矩阵施加条件, 即研究一些特定的单生 Q 矩阵 (参见文献 [10–15]). 二是对一般的单生 Q 矩阵使用分析方法研究其唯一性和遍历理论等经典问题; 对其唯一性、常返性、 遍历性和强遍历性, 已得到了显式判别准则; 对指数遍历性也得到显式充分条件, 获得了其平稳分布、 首次回返时 (击中时) 和占位时矩的显式表达. 参见文献 [5, 6, 16] 和 [20–39]. 特别地, 文献 [40] 研究了 单生过程 Poisson 方程解的表示, 以此作为工具, 统一处理前面提到的单生过程经典问题的判别准则, 还包括回返时的多项式阶矩、指数阶矩、灭绝时的分布和灭绝概率等. 本文余下内容安排如下: 第 2 节介绍单生过程唯一性的显式判别准则; 第 3 节介绍单生过程常返 性的显式判别准则、回返 (灭绝) 概率和平均占位时; 第 4 节介绍单生过程 Poisson 方程解的显式表 示, 举例说明如何以其为工具, 统一处理单生过程的相关问题; 第 5 节介绍单生过程的遍历性和强遍 历性的显式判别准则, 以及回返时一阶矩的显式表达; 第 6 节介绍单生过程回返时和生命时高阶矩的 显式表达、ℓ 遍历的判别准则以及平稳分布的显式计算公式; 第 7 节介绍回返时 (生命时) 的指数阶矩 和 Laplace 变换, 并涉及我们最关心的部分—单生过程指数遍历性, 给出单生过程指数遍历的一个显 式充分条件; 最后一节回顾单生过程在粒子系统等模型研究中的若干应用. 单生过程其他方面的研究, 如带吸收边界的单生过程, 可以参见文献 [20, 23, 27, 29], 而文献 [34] 则 是研究带移民的单生过程; 文献 [41, 42] 分别研究了生灭过程和单生过程分离切断 (separation cutoff) 现象发生的显式判别准则, 这个方向的最新文章是文献 [43], 其工具是 Martin 边界理论、位势理论、 波动理论和谱分析. 文献 [44] 用对偶方法通过分支过程研究一类单生过程. 文献 [45] 研究单生过程 的中心极限定理. Ma1) 研究了单生 Q 矩阵的 Lipschitz 范数. 对于离散时间单生过程的研究, 参见文 献 [46, 47]. 为节省篇幅, 不再一一详细介绍这些内容. 有兴趣的读者, 可以参考相应的文献. 本节最后, 为后面叙述方便, 引入一些单生过程的常用记号, 这些记号源于文献 [5]. 对 0 6 k < n, 定义 q (k) n = ∑k j=0 qnj . 再定义 F (n) n = 1, F(i) n = 1 qn,n+1 n∑−1 k=i q (k) n F (i) k , 0 6 i < n. (1.1) 1) Ma Y T. Lipschitz norm for Q-matrix of single birth processes. Preprint, 2007 622