第障格与布尔代数 定理812设<X,,∧>是代数系统,其中∨,∧都是二元 运算。如果∨和∧满足吸收律,则∨和∧满足幂等律。 证明:aVa=av(a∧(aVb)=a,同理可证a∧a=a 定理813设<X,∨,∧>是代数系统,其中∨,∧都是二元 运算,满足交换律、结合律和吸收律,则可适当定义X的偏 序关系≤,使<X,≤>构成一个格。 证明:定义X上的 元关系 ≤<a,b>a,b∈X且a∧b=a (1)证明≤是X上的偏序关系。 由定理81.2知∧满足幂等律,即a∧a=a,所以a≤a。故 ≤是自反的 设a≤b且b≤a,则a∧b=a且b∧a=b,于是a=a∧b=b∧a b。所以≤是反对称的 设a≤b且b≤c,则a∧b=a且b∧c=b,于是a∧c=(a∧b)∧c a(b∧c)=a∧b=a,即a≤c,故≤是传递的 这就证明了≤是X上的偏序关系。第8章 格与布尔代数 定理8.1.2 设X,∨,∧是代数系统，其中∨,∧都是二元 运算。如果∨和∧满足吸收律，则∨和∧满足幂等律。 证明：a∨a=a∨(a∧(a∨b))=a，同理可证a∧a=a 定理8.1.3 设X,∨,∧是代数系统，其中∨,∧都是二元 运算，满足交换律、结合律和吸收律，则可适当定义X的偏 序关系≼，使X,≼构成一个格。 证明：定义X上的一个二元关系 ≼=a,b|a,bX且a∧b=a ⑴ 证明≼是X上的偏序关系。 由定理8.1.2知∧满足幂等律，即a∧a=a，所以a≼a。故 ≼是自反的。 设a≼b且b≼a，则a∧b=a且b∧a=b，于是a=a∧b=b∧a =b。所以≼是反对称的。 设a≼b且b≼c，则a∧b=a且b∧c=b，于是a∧c=(a∧b)∧c =a∧(b∧c)=a∧b=a，即a≼c，故≼是传递的。 这就证明了≼是X上的偏序关系