(5)∑2in孙,x∈(0,+∞) ≤ ∈[-1,0 n=1 2n+1 x∈[-1,1 5.证明级数∑(-1)-1n4关于x在(-∞,+∞)上为一致收敛,但对 任何x并非绝对收敛;而级数 m2虽在∈(-∞,+∞)上绝对收敛, 但并不一致收敛 6.设每一项n(x)都是{a,上的单调函数,如果∑φn(x)在{a,b的端 点为绝对收敛,那么这级数在{a,b上一致收敛 7.若∑n(x)的一般项n1(x)≤cn(x),x∈x,并且∑cun(x)在X上 致收敛,证明∑un(x)在X上也一致收敛且绝对收敛 3和函数的分析性质 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性 (1)∑xn,-1<x<1; (2)∑君,-1≤x<1 <1 (4)∑+mx+n+,0<x<+∞ r>0;(5) P∞ n=1 2 n sin 1 3 nx , x ∈ (0, +∞); (6) P∞ n=1 (−1) n(n−1) 2 √3 n2+e x , |x| 6 a; (7) P∞ n=1 x n √ n , x ∈ [−1, 0]; (8) P∞ n=1 (−1)n x 2n+1 2n+1 , x ∈ [−1, 1]. 5．证明级数 P∞ n=1 (−1)n−1 1 n+x2 关于x 在(−∞, +∞) 上为一致收敛，但对 任何x 并非绝对收敛；而级数 P∞ n=1 x 2 (1+x2) n 虽在x ∈ (−∞, +∞) 上绝对收敛， 但并不一致收敛. 6．设每一项ϕn(x) 都是[a, b] 上的单调函数，如果Pϕn(x)在[a, b] 的端 点为绝对收敛，那么这级数在[a, b] 上一致收敛. 7．若 P∞ n=1 un(x) 的一般项|un(x)| ≤ cn(x), x ∈ X,并且 P∞ n=1 cun(x) 在X上一 致收敛，证明 P∞ n=1 un(x) 在X上也一致收敛且绝对收敛. §3 和函数的分析性质 1. 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性： (1) P∞ n=0 x n , −1 < x < 1; (2) P∞ n=1 x n n , − 1 ≤ x < 1; (3) P∞ n=1 x n n2 , |x| ≤ 1; (4) P∞ n=1 1 (x+n)(x+n+1), 0 < x < +∞; (5) P∞ n=1 1 1+n2x2 , |x| > 0; 5