Vol.28 No.8 陈明文等：远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 731。 再由式(36)和式(42)确定界面生长率8t)/dt) h=0++dt)Usesinwx (51) 和波数ω满足的色散关系为： 其中U作为小参数.继续进行下去可计算二阶 t山= 1 扰动项的渐近解。流场的二阶扰动项满足的方程 t)1+J厂1M(kλs-入) 与式(29)~(30)一致，界面条件为： 【2(λ-kλs)-灯-w2+Dw3(45) U2=- (52) 凝固系统界面的稳定性取决于t)/t)的符 远场条件为： 号.当t)/t<0时，界面是稳定的；而当 U20. (53) dt)/dt>0时，界面是不稳定的.因式(45)右 对于温度场，固相温度的二阶扰动项与式(32)一 边的分式的分母总是正的，JM(k入s一入r)使得 致，液相温度的二阶扰动项满足 扰动变化率dt)/dt)减小，所以界面动力学系 数是界面的稳定性因素.式(45)右边方括号内的 +器+： T0=VT2(54 (入T一k入s)项总是负的，这使得扰动变化率 界面条件与远场条件分别与式(34)~(36)和式 t)/t)减小，所以界面能是界面的稳定因素. (38)一致.可以看出，远场来流将影响界面扰动 式(45)右边方括号内的Dw2项是正的，使得扰 的变化率和波数. 动变化率t)/t)增大，所以界面变化所消耗 3结论 的能量是界面的不稳定因素.记 S(w)=w2(入T-k入s)-入r-(1-D)2 将M ullins和Sekerka,Xug和Dais1的 分析结果推广到有对流的流场中.从上述分析可 (46) 以看出，利用渐近分析方法把流场、温度场以及界 所以界面的稳定性取决于S(ω)的符号.当S 面的耦合作用减弱，在小的远场来流扰动作用下 (<0时，界面是稳定的；当S(ω>0时，界面 是不稳定的：当S(w)=0时，界面是中立稳定的. 得到了纯熔体内流场、温度场以及界面形状的一 特别地，如果取kT=ks,忽略界面动力学的影响， 阶渐近解，导出了液固界面的扰动振幅变化率与 则 波数的色散关系，从而判定具有液固平直界面的 凝固过程的稳定性，揭示了金属凝固过程中液固 哥+号叶4-以2+4- 平直界面转变为胞晶界面的内在机理.界面函数 w2+Do2 (47) 式(51)中的8有待进一步确定1四. 确定.如果 参考文献 S(=}+号+4-2+40- [1]Mullins WW.Sekerka R F.Stability of a phnar interface w2+Dw20, during solidification of a diute binary alloy.J Appl Phys, 1964,35:444 则界面是稳定的；如果S(ω>0，则界面是不稳 [2 Langer L A,Turski J S.Studies in the theory of the interfa- 定的.按照扰动振幅变化率和波数的色散关系 cial stability I:stationary ymmetric model.Acta Metall, (45),可以确定扰动的最主要波长由波数的最大 1977,32:1 值a确定，即入ms=2元/m1q.对于典型的 [3 Ungar L H,Brown R A.Celular interface morphologiesin d- 金属而言，胞晶或一次枝晶间距大约50m. rectional solidification II:the effect of grain boundaries.Phys 一阶扰动项的渐近解可表示为 RwB1984,30(7):3993 [4王自东，周永利，常国威，等.控制单相合金凝固界面形态 U=U1-e向-jP=po 48) 非线性动力学方程.中国科学E辑，1999.29(1)：1 T=-(1+J厂1M)+e'+ [匀吴金平，侯安新，黄定华，等.凝固平界面的非线性不稳定 性与动力学分岔.中国科学E辑，2000,30：494 Uc(1-2)it)-JMat)]e'sinox [6 Xu JJ.Interfacial Wave Theory of Pattern Fomation.Berlin: 49) Springer-Verlag Publishers,1998 Ts=-J厂1M十 【7)王自东.胡汉起.熔体对流与形核之间的理论模型和实验 证据/凝固科学技术与材料发展香山科学会议.北京. Uoel-To2 t)-JMdt)]e's'sinox 2003:63 (50 18 Buchholz A.Engler S.The influence of forced convection on再由式( 36)和式( 42)确定界面生长率 δ · ( t) / δ( t ) 和波数 ω满足的色散关系为 : δ · ( t) δ( t) = 1 1 +J -1 M( kλS -λT) · [ Γω 2 ( λT -kλS) -λT -ω 2 +ΓJω 2 ] ( 45) 凝固系统界面的稳定性取决于 δ · ( t) / δ( t) 的符 号.当 δ · ( t) / δ( t ) <0 时, 界面是稳定的 ;而当 δ · ( t)/ δ( t) >0 时, 界面是不稳定的.因式( 45)右 边的分式的分母总是正的, J -1 M( kλS -λT )使得 扰动变化率 δ · ( t) / δ( t) 减小, 所以界面动力学系 数是界面的稳定性因素.式( 45)右边方括号内的 Γω2 ( λT -kλS ) 项总是负的, 这使得扰动变化率 δ · ( t)/ δ( t)减小, 所以界面能是界面的稳定因素. 式( 45) 右边方括号内的 ΓJω2 项是正的, 使得扰 动变化率 δ · ( t) / δ( t) 增大, 所以界面变化所消耗 的能量是界面的不稳定因素.记 S ( ω) =Γω2 ( λT -kλS) -λT -( 1 -ΓJ ) ω2 ( 46) 所以界面的稳定性取决于 S ( ω) 的符号 .当 S ( ω) <0 时, 界面是稳定的 ;当 S ( ω) >0 时, 界面 是不稳定的;当 S ( ω) =0 时, 界面是中立稳定的. 特别地, 如果取 k T =k S, 忽略界面动力学的影响, 则 δ · ( t) δ( t) = 1 2 + 1 2 1 +4 ω 2 -Γω 2 1 +4 ω 2 - ω 2 +ΓJω 2 ( 47) 确定 .如果 S ( ω) = 1 2 + 1 2 1 +4 ω2 -Γω2 1 +4 ω2 - ω2 +ΓJ ω2 <0, 则界面是稳定的;如果 S ( ω) >0, 则界面是不稳 定的.按照扰动振幅变化率和波数的色散关系 ( 45), 可以确定扰动的最主要波长由波数的最大 值 ωmax 确定, 即 λmax =2π/ ωmax [ 10] .对于典型的 金属而言, 胞晶或一次枝晶间距大约 50 μm . 一阶扰动项的渐近解可表示为 U =iU ∞ 1 -e -1 Pr y -j, P =P0 ( 48) T L =-( 1 +J -1 M) +e -y + U ∞[ ( 1 -Γω2 ) δ( t) -J -1 Mδ · ( t)] e λT y sin ωx ( 49) TS =-J -1 M + U ∞[ -Γω2δ( t) -J -1 Mδ · ( t)] e λS y sin ωx ( 50) h =0 +δ( t) U ∞sin ωx ( 51) 其中 U ∞作为小参数.继续进行下去可计算二阶 扰动项的渐近解.流场的二阶扰动项满足的方程 与式( 29) ～ ( 30)一致, 界面条件为 : U2 =- h1 Pr i, ( 52) 远场条件为: U2 ※0 . ( 53) 对于温度场, 固相温度的二阶扰动项与式( 32) 一 致, 液相温度的二阶扰动项满足 - T L2 y +u1 TL1 x +v 2 T L0 y = 2 TL2 ( 54) 界面条件与远场条件分别与式( 34) ～ ( 36) 和式 (38)一致.可以看出, 远场来流将影响界面扰动 的变化率和波数. 3 结论 将M ullins 和 Sekerka [ 1] , Xu [ 6] 和 Davis [ 11] 的 分析结果推广到有对流的流场中 .从上述分析可 以看出, 利用渐近分析方法把流场 、温度场以及界 面的耦合作用减弱, 在小的远场来流扰动作用下 得到了纯熔体内流场 、温度场以及界面形状的一 阶渐近解, 导出了液固界面的扰动振幅变化率与 波数的色散关系, 从而判定具有液固平直界面的 凝固过程的稳定性, 揭示了金属凝固过程中液固 平直界面转变为胞晶界面的内在机理.界面函数 式( 51)中的 δ有待进一步确定[ 12] . 参 考 文 献 [ 1] Mullins W W, Sekerka R F .S tability of a planar in terf ace during solidification of a dilut e binary alloy .J Appl Phys, 1964, 35:444 [ 2] Langer L A, Turski J S.Studies in the theory of the interfa￾cial stability Ⅰ :stationary symmetric model.Acta Metall, 1977, 32:1 [ 3] Ungar L H, Brown R A.Cellular interface morphologiesin di￾rectional solidification Ⅱ :the effect of grain boundaries.Phys Rev B, 1984, 30( 7) :3993 [ 4] 王自东, 周永利, 常国威, 等.控制单相合金凝固界面形态 非线性动力学方程.中国科学 E 辑, 1999, 29( 1) :1 [ 5] 吴金平, 侯安新, 黄定华, 等.凝固平界面的非线性不稳定 性与动力学分岔.中国科学 E 辑, 2000, 30:494 [ 6] Xu J J.Int erf acial Wave T heory of Patt ern Formation.Berlin: Springer -Verlag Publishers, 1998 [ 7] 王自东, 胡汉起.熔体对流与形核之间的理论模型和实验 证据 // 凝固科学技术与材料发展香山科学会议.北京, 2003:63 [ 8] Buchholz A, Engler S.The influence of forced convection on Vol.28 No.8 陈明文等:远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 · 731 ·