远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析

D01:10.13374j.ism100103x2006.08.005 第28卷第8期 北京科技大学学报 Vol.28 Na 8 2006年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2006 远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 陈明文1,2) 王自东)杨伟)孙仁济) 吴献明) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院.北京100083 3)北海粮油工业（天津）有限公司，天津300454 摘要利用渐近分析方法研究在小的远场来流扰动作用下纯熔体内具有液固平直界面的凝固 过程的稳定性，导出了液固界面的扰动振幅变化率与波数的色散关系，以此为基础给出了具有液 固平直界面的凝固过程的稳定性判据，揭示了金属凝固过程中液固平直界面转变为胞晶界面的内 在机理 关键词熔体：晶体生长液固界面；平直界面：渐近分析 分类号TG111.4:01752 液固界面的组织形态结构与金属材料的性能 面的扰动振幅变化率与波数的色散关系，揭示了 密切相关.自从Muin和Sekerka)建立了凝固 金属凝固过程中液固平直界面转变为胞晶界面的 平直界面的动力稳定性理论以来，对于凝固界面 内在机理.王自东等，讨论了熔体对流与形核之 组织形态控制的研究一直是材料科学领域的重要 间的关系的理论模型和实验证据.Buchhokz和 研究方向.Langer和Turski3研究了界面非线性 Engler9在实验中观察到在剪切流的影响下，柱 不稳定性的单边理论模型，Ungar和Bown到研 状晶体和枝晶倾向于向来流方向倾斜地生长.这 究了定向凝固中粒状边界如何影响晶体界面的形 说明剪切流对于晶体生长有重要的作用.Kauer- 态，王自东等9研究了单相合金凝固界面形态的 af等？用实验方法研究了对流对胞状界面形态 非线性动力学理论，吴金平等匀研究了凝固平界 的影响，发现胞状界面的图案的演化是连续的，如 面的非线性动力学分岔.凝固过程涉及到能量守 果熔体对流存在对界面形态的影响，那么它在某 恒、质量守恒和动量守恒，相应的数学模型是一个 种意义上必定是系统性的影响.在实际的定向凝 偏微分方程组的自由边界值问题.在纯熔体内由 固过程中，由于搅拌等因素会使熔体产生对流。 于流场、温度场以及界面条件是耦合的，而且偏微 按照Mullins和Sekerka的观点，在离开界面相 分方程是非线性的，一般无法求出其精确解，这给 当于几个波长的距离以外的区域可被视为无穷 分析带来很大的困难.人们不得不预先假定界面 远，液固界面将会受到无穷远场来流的影响.本 是某个特定的函数来研究凝固平直界面的稳定 文对在小的远场来流扰动作用下纯熔体内液固平 性1，但是液固界面是在凝固过程中经历动量 直界面的稳定性进行了渐近分析，导出了液固界 传输、能量传输和质量传输的相互作用自然形成 面的扰动振幅变化率与波数的色散关系，以此判 的，不能人为设定，典型的胞晶生长在开始时液 定具有液固平直界面的凝固过程的稳定性. 固界面扰动较小，经过初始的瞬间调整，胞晶、枝 晶的间距逐渐趋于一致.液固界面形态从非稳定 1数学模型 态逐渐变成稳定态，液固界面呈现为一个周期性 考虑液固平直界面处于上半空间的纯物质过 协调一致的界面.近年来，人们从实验和理论分 冷熔体.假设熔体被视为不可压缩牛顿流体设 析进一步研究流场的对流对于凝固界面形态的影 液固平直界面在开始时处在坐标平面，界面温度 响.X6研究了在忽略流场作用的情况下具有液 为热力学平衡温度TM,远场的温度为T(T< 固平直界面的凝固过程的稳定性，导出了液固界 TM),界面以特征速度V沿温度梯度为负的方向 收稿日期：2005-10-27修回日期：200603-03 移动（如图1）.在远场有一小的均匀来流U∞扰 基金项目：国家重大基础研究项目(No.G2000067206-1) 动，方向与界面运动方向垂直，即U=Ui,经 作者简介：陈明文(1960-），男，副教授 远场来流的扰动，凝固系统的界面形状将具有弯

远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 陈明文1, 2) 王自东2) 杨 伟1) 孙仁济1) 吴献明3) 1) 北京科技大学应用科学学院, 北京 100083 2) 北京科技大学材料科学与工程学院, 北京 100083 3) 北海粮油工业(天津) 有限公司, 天津 300454 摘 要 利用渐近分析方法研究在小的远场来流扰动作用下纯熔体内具有液固平直界面的凝固 过程的稳定性, 导出了液固界面的扰动振幅变化率与波数的色散关系, 以此为基础给出了具有液 固平直界面的凝固过程的稳定性判据, 揭示了金属凝固过程中液固平直界面转变为胞晶界面的内 在机理. 关键词 熔体;晶体生长;液固界面;平直界面;渐近分析 分类号 TG 111.4 ;O 175.2 收稿日期:2005 10 27 修回日期:2006 03 03 基金项目:国家重大基础研究项目( No .G2000067206 -1) 作者简介:陈明文( 1960—) , 男, 副教授 液固界面的组织形态结构与金属材料的性能 密切相关.自从 Mullin 和 Sekerka [ 1] 建立了凝固 平直界面的动力稳定性理论以来, 对于凝固界面 组织形态控制的研究一直是材料科学领域的重要 研究方向.Langer 和 Turski [ 2] 研究了界面非线性 不稳定性的单边理论模型, Ungar 和 Brow n [ 3] 研 究了定向凝固中粒状边界如何影响晶体界面的形 态, 王自东等 [ 4] 研究了单相合金凝固界面形态的 非线性动力学理论, 吴金平等[ 5] 研究了凝固平界 面的非线性动力学分岔.凝固过程涉及到能量守 恒、质量守恒和动量守恒, 相应的数学模型是一个 偏微分方程组的自由边界值问题 .在纯熔体内由 于流场、温度场以及界面条件是耦合的, 而且偏微 分方程是非线性的, 一般无法求出其精确解, 这给 分析带来很大的困难 .人们不得不预先假定界面 是某个特定的函数来研究凝固平直界面的稳定 性[ 1 5] ,但是液固界面是在凝固过程中经历动量 传输、能量传输和质量传输的相互作用自然形成 的, 不能人为设定.典型的胞晶生长在开始时液 固界面扰动较小, 经过初始的瞬间调整, 胞晶 、枝 晶的间距逐渐趋于一致.液固界面形态从非稳定 态逐渐变成稳定态, 液固界面呈现为一个周期性 协调一致的界面 .近年来, 人们从实验和理论分 析进一步研究流场的对流对于凝固界面形态的影 响.Xu [ 6] 研究了在忽略流场作用的情况下具有液 固平直界面的凝固过程的稳定性, 导出了液固界 面的扰动振幅变化率与波数的色散关系, 揭示了 金属凝固过程中液固平直界面转变为胞晶界面的 内在机理 .王自东等[ 7] 讨论了熔体对流与形核之 间的关系的理论模型和实验证据.Buchholz 和 Engler [ 8] 在实验中观察到在剪切流的影响下, 柱 状晶体和枝晶倾向于向来流方向倾斜地生长.这 说明剪切流对于晶体生长有重要的作用 .Kauer￾auf 等[ 9] 用实验方法研究了对流对胞状界面形态 的影响, 发现胞状界面的图案的演化是连续的, 如 果熔体对流存在对界面形态的影响, 那么它在某 种意义上必定是系统性的影响.在实际的定向凝 固过程中, 由于搅拌等因素会使熔体产生对流. 按照 Mullins 和 Sekerka [ 1] 的观点, 在离开界面相 当于几个波长的距离以外的区域可被视为无穷 远, 液固界面将会受到无穷远场来流的影响 .本 文对在小的远场来流扰动作用下纯熔体内液固平 直界面的稳定性进行了渐近分析, 导出了液固界 面的扰动振幅变化率与波数的色散关系, 以此判 定具有液固平直界面的凝固过程的稳定性. 1 数学模型 考虑液固平直界面处于上半空间的纯物质过 冷熔体.假设熔体被视为不可压缩牛顿流体, 设 液固平直界面在开始时处在坐标平面, 界面温度 为热力学平衡温度 T M , 远场的温度为 T ∞( T ∞< T M ), 界面以特征速度 V 沿温度梯度为负的方向 移动( 如图 1) .在远场有一小的均匀来流 U ∞扰 动, 方向与界面运动方向垂直, 即 U ∞ =U ∞ i, 经 远场来流的扰动, 凝固系统的界面形状将具有弯 第 28 卷 第 8 期 2006 年 8 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .28 No.8 Aug.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.08.005

Vol.28 No.8 陈明文等：远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 ·729· 曲界面，不再保持平面.在随界面一起运动的移 其中，Y为表面张力系数；△H为相变潜热；μ为 动坐标系中，假设受到扰动的界面形状用函数y 界面动力学系数；K为界面的平均曲率；n和τ分 =h(x,t)表示，则温度场、流场和界面运动的状 别为界面单位法方向（由固相指向液相）和单位切 态可以用如下的控制方程和边界条件描述： 方向；kT和ks分别为液相和固相的热传导系数： V+h U为界面的绝对运动速度U一十，h: 液相 和h,分别为界面形状函数y=h(x,t)对x和t 的一阶偏导数 (4)远场条件：当y→时， U→Ua (10 固相 TL→To (11) 由式(1)~(11)组成了纯熔体内具有平直界 面的凝固系统. 图1具有远场来流的二维定向凝固系统示意图 Fig.I Sketch of two-dimensional directional sodification with 2线性稳定性分析 a far field flow 首先对于所涉及的物理量进行量纲为一化. (I)在流场中，流动速度U满足Navier- 选择扩散长度kr/(cnPV)作为问题的长度尺 Stokes方程和连续性方程： 度，界面的特征速度V为速度尺度，kr/ (U可=-p+U(axKK网 (PLV)作为时间尺度，△H/(cP)为温度尺度， 作为压力尺度，其中为液相的比热容. (1) 定义量纲为一量 7U=0(h(x,tKy<∞ (2 TL-TM Ts-TM (2)在温度场中，液相温度TL和固相温度 T-DHI(c)Ts-AHI(ep) Ts分别满足热传导方程： U.VTL=aT VTL (h(x,tK<<oo)(3) ⑦=gP- P1v2 v=as V Ts (-o<y<h(x,t)) 将凝固系统(1)~(11)进行量纲为一化处理. 为了书写方便起见，仍用TL,Ts分别表示液相和 (4) 固相温度，U表示速度，P为压力. 其中v为运动粘度，P为压力，QT和as分别为温 (1)在流场中，流速U=i十yj满足 度场中液相和固相的热扩散系数，而P,为液相质 (UV)U--VP+Pr VU (h(x,txoo 量密度.假定液相和固相的比热容相等，液相和 (12) 固相的质量密度相等，忽略流场中浮力和热膨胀 7·U=0(h(x,tKy<∞)(13) 的作用. (2)在温度场中， (3)界面条件：在界面y=h(x,t)上， U.VTL=VTL (h(x,tKx<oo)(14) 质量守恒条件 (U什j)“n=0 (5) 亚=k.72Ts(-xKh(x,) 切向无滑移条件 (15) (U+叮)·t=0 (6) (3)界面条件：在界面y=h(x,t)上， 热平衡条件 u+(v+1)hx=0,v-uhx=-1(16) TL=Ts (7) TL=Ts (17) Gibbs-Thomson条件 Ts=下hrr (18) =T1+2k动-u 8) 1+是'M1+: (1十)克 能量守恒条件 (AH+2KY)U=(ks VTs-kT VTL'n(9) (1+经)别(1+3+

曲界面, 不再保持平面.在随界面一起运动的移 动坐标系中, 假设受到扰动的界面形状用函数 y =h ( x , t)表示, 则温度场、流场和界面运动的状 态可以用如下的控制方程和边界条件描述: 图 1 具有远场来流的二维定向凝固系统示意图 Fig.1 Sketch of two-dimensional directional solidification with a far field flow ( 1) 在 流场中, 流 动速度 U 满 足 Navier￾S tokes 方程和连续性方程 : ( U· ) U=- 1 ρL P +υ 2 U ( h( x, t) <y <∞) ( 1) ·U =0 ( h ( x , t) <y <∞) ( 2) (2) 在温度场中, 液相温度 T L 和固相温度 TS 分别满足热传导方程 : U· TL =αT 2 TL ( h ( x, t) <y <∞) ( 3) -V TS y =αS 2 TS ( -∞<y <h( x , t)) ( 4) 其中 υ为运动粘度, P 为压力, αT 和 αS 分别为温 度场中液相和固相的热扩散系数, 而 ρL 为液相质 量密度.假定液相和固相的比热容相等, 液相和 固相的质量密度相等, 忽略流场中浮力和热膨胀 的作用. ( 3)界面条件:在界面 y =h ( x , t)上, 质量守恒条件 ( U+Vj) ·n =0 ( 5) 切向无滑移条件 ( U +Vj )·τ=0 ( 6) 热平衡条件 TL =TS ( 7) Gibbs-Thomson 条件 TS =T M 1 +2K γ ΔH - 1 μ U1 ( 8) 能量守恒条件 ( ΔH +2K γ) UI =( k S TS -k T T L) ·n ( 9) 其中, γ为表面张力系数 ;ΔH 为相变潜热 ;μ为 界面动力学系数;K 为界面的平均曲率;n 和τ分 别为界面单位法方向(由固相指向液相)和单位切 方向 ;k T 和 k S 分别为液相和固相的热传导系数; UI 为界面的绝对运动速度, UI = V +ht ( 1 +h 2 x ) 1/2 , h x 和ht 分别为界面形状函数 y =h ( x , t) 对 x 和 t 的一阶偏导数 . ( 4)远场条件:当 y ※∞时, U ※U ∞ ( 10) T L ※T ∞ ( 11) 由式( 1) ～ ( 11) 组成了纯熔体内具有平直界 面的凝固系统 . 2 线性稳定性分析 首先对于所涉及的物理量进行量纲为一化. 选择扩散长度 k T/ ( cpρL V ) 作为问题的长度尺 度, 界 面 的 特 征 速 度 V 为 速 度 尺 度, k T/ ( cpρL V 2 )作为时间尺度, ΔH/ ( cpρL)为温度尺度, ρL V 2 作为压力尺度, 其中 cp 为液相的比热容. 定义量纲为一量 TL = TL -T M ΔH/ ( cpρL) , T S = TS -T M ΔH/ ( cpρL) , U = U V , P = P ρL V 2 . 将凝固系统( 1) ～ ( 11)进行量纲为一化处理. 为了书写方便起见, 仍用 TL, T S 分别表示液相和 固相温度, U 表示速度, P 为压力. ( 1)在流场中, 流速 U=ui +v j 满足 ( U· ) U=- P+Pr 2 U ( h( x , t) <y <∞) ( 12) ·U =0 ( h ( x , t) <y <∞) ( 13) ( 2)在温度场中, U· T L = 2 TL ( h( x , t) <y <∞) ( 14) - TS y =k c 2 TS ( -∞<y <h( x , t) ) ( 15) ( 3)界面条件:在界面 y =h ( x , t)上, u +( v +1) hx =0, v -uhx =-1 ( 16) TL =TS ( 17) T S =Γ hx x ( 1 +h 2 x ) 3 2 -J -1 M 1 +ht ( 1 +h 2 x ) 1 2 ( 18) 1 +ΓJ hxx ( 1 +h 2 x ) 3 2 1 +ht ( 1 +h 2 x ) 1 2 + Vol.28 No.8 陈明文等:远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 · 729 ·

。730· 北京科技大学学报 2006年第8期 号：(-7=0 (19) 7·U1=0(h(x,tKy1的情形山.当 类似地，由式(32)得到固相温度场的一阶近似解： 流场有远场流动的扰动时，记U∞=eU。i,对流 Ts1=De's sint(aux十P2) (41) 对温度场、流场和界面的形态产生扰动.为了对 其中s=一V2k十N1/4k2+w2,92为任意常 凝固系统作线性稳定性分析，在基态解的基础上， 数.不妨取9=9=0，利用界面条件(34)可确 将各个物理量q={TL,Ts,U,P,h}视为对基态 定h1的形式为 解的修正，即： h1=dt)Uoosinox, (42) q=90=q1+e2q2十…(0Ke)(28) 其中1)为待定函数.再利用界面条件(34)~ 将式(28)代入问题(12)~(21)，则得一阶扰动项 (35)确定待定常数C和D, 所满足的方程和边界条件如下， TL=Uoo(1-D2)81)-Mt)ersinux (1)在流场中， (43) U1_-VP+Pr (h(x,1<y<o) Ts1=Ucel-To2 dt)-JM it)]e's'sin ax (29) (44)

y -hx x ( TL -kTS) =0 ( 19) ( 4)远场条件:当 y ※∞时, U ※U ∞ ( 即量纲为一速度 U ∞ V ) ( 20) T L ※T ∞ ( 即量纲为一温度 T ∞-T M ΔH/ ( cpρL) ) ( 21) 其中, k c = αS αT , k = k S k T , Γ= γc 2 pρ2 L T M V ΔH 2 k T , J = ΔH cpρL T M , M = V T M μ ;hx x 为函数 h ( x , t) 对 x 的二 阶偏导数 ;Pr 为普朗特数, Pr = cpρL υ k T . 界面的运动速度 UI 化为 UI = 1 +ht ( 1 +h 2 x ) 1 2 ( 22) 从式( 12) ～ ( 21) 可见, 流场和温度场以及界 面条件是耦合在一起的非线性偏微分方程的自由 边界值问题, 难以求得它的解析解.下面研究在 小的远场来流的扰动下对于液固平直界面的稳定 性的渐近分析 .当流场中没有远场流动的扰动 时, 以液固平直界面 y =h0( x , t) =0 作为界面的 基态, 因此令 x =0, 容易解得问题( 12) ～ ( 21)的 解: u 0=0, v 0 =-1 ( 23) P0 =const ( 24) TL0 =-( 1 +J -1 M) +e -y ( 25) TS0 =-J -1 M ( 26) 并确定出界面运动的特征速度 : V =μΔH cpρL ( T ∞ -1) ( 27) 本文适合于强过冷 T ∞ >1 的情形[ 11] .当 流场有远场流动的扰动时, 记 U ∞ =εU ∞i, 对流 对温度场、流场和界面的形态产生扰动.为了对 凝固系统作线性稳定性分析, 在基态解的基础上, 将各个物理量 q ={T L, TS , U, P, h}视为对基态 解的修正, 即: q =q0 =εq1 +ε2 q2 +… ( 0 <ε 1) ( 28) 将式( 28)代入问题( 12) ～ ( 21), 则得一阶扰动项 所满足的方程和边界条件如下 . ( 1) 在流场中, - U1 y =- P1 +Pr 2 U1 ( h( x , t) <y <∞) ( 29) ·U1 =0 ( h ( x , t) <y <∞) ( 30) ( 2)在温度场中, - T L1 y = 2 TL1 ( h( x , t) <y <∞) ( 31) - TS1 y =kc 2 TS1 ( -∞<y <h( x , t)) ( 32) ( 3)界面条件:在界面 y =h ( x , t)上, U1 =0 ( 33) TL1 -TS1 =h1 ( 34) TS1 =Γ 2 h1 x 2 -J -1 M h1 t ( 35) k TS1 y - TL1 y =h1 +JΓ 2 h1 x 2 + h1 t ( 36) ( 4)远场条件:当 y ※∞时 U1 ※U ∞i ( 37) T L1 ※0 . ( 38) 由于受到小的远场来流的影响, 流场的流动 仍然保持层流.从式( 29), ( 30), ( 33)和( 37) 容易 得到 : U1 =iU ∞ 1 -e - 1 Pr y , P1 =0 ( 39) 利用分离变量法, 设 T L1 =X ( x ) Y ( y) , 则从( 31) 得: Y″ Y +Y′ Y =-X″ X ( =ω2 为常数) . 所以, X″+ω2 X =0, Y″+Y′-ω2 Y =0 . 结合衰减条件式( 38), 得到液相温度场的一阶近 似解 : TL1 =Ce λT y sin( ωx +φ1) ( 40) 其中 φ1 为任意常数, λT =-1/2 - 1/4 +ω 2 . 类似地, 由式( 32)得到固相温度场的一阶近似解: TS1 =De λS y sin( ωx +φ2) ( 41) 其中 λS =-1/2k c + 1/4k 2 c +ω2 , φ2 为任意常 数.不妨取 φ1 =φ2 =0, 利用界面条件( 34) 可确 定 h1 的形式为 h 1 =δ( t) U ∞sin ωx , ( 42) 其中 δ( t )为待定函数 .再利用界面条件( 34) ～ ( 35) 确定待定常数 C 和D, TL1 =U ∞[ ( 1 -Γω 2 ) δ( t) -J -1 Mδ · ( t)] e λT y sin ωx ( 43) TS1 =U ∞[ -Γω2δ( t) -J -1 Mδ · ( t)] e λS y sin ωx ( 44) · 730 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 8 期

Vol.28 No.8 陈明文等：远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 731。 再由式(36)和式(42)确定界面生长率8t)/dt) h=0++dt)Usesinwx (51) 和波数ω满足的色散关系为： 其中U作为小参数.继续进行下去可计算二阶 t山= 1 扰动项的渐近解。流场的二阶扰动项满足的方程 t)1+J厂1M(kλs-入) 与式(29)~(30)一致，界面条件为： 【2(λ-kλs)-灯-w2+Dw3(45) U2=- (52) 凝固系统界面的稳定性取决于t)/t)的符 远场条件为： 号.当t)/t0时，界面是不稳定的.因式(45)右 对于温度场，固相温度的二阶扰动项与式(32)一 边的分式的分母总是正的，JM(k入s一入r)使得 致，液相温度的二阶扰动项满足 扰动变化率dt)/dt)减小，所以界面动力学系 数是界面的稳定性因素.式(45)右边方括号内的 +器+： T0=VT2(54 (入T一k入s)项总是负的，这使得扰动变化率 界面条件与远场条件分别与式(34)~(36)和式 t)/t)减小，所以界面能是界面的稳定因素. (38)一致.可以看出，远场来流将影响界面扰动 式(45)右边方括号内的Dw2项是正的，使得扰 的变化率和波数. 动变化率t)/t)增大，所以界面变化所消耗 3结论 的能量是界面的不稳定因素.记 S(w)=w2(入T-k入s)-入r-(1-D)2 将M ullins和Sekerka,Xug和Dais1的 分析结果推广到有对流的流场中.从上述分析可 (46) 以看出，利用渐近分析方法把流场、温度场以及界 所以界面的稳定性取决于S(ω)的符号.当S 面的耦合作用减弱，在小的远场来流扰动作用下 (0时，界面 是不稳定的：当S(w)=0时，界面是中立稳定的. 得到了纯熔体内流场、温度场以及界面形状的一 特别地，如果取kT=ks,忽略界面动力学的影响， 阶渐近解，导出了液固界面的扰动振幅变化率与 则 波数的色散关系，从而判定具有液固平直界面的 凝固过程的稳定性，揭示了金属凝固过程中液固 哥+号叶4-以2+4- 平直界面转变为胞晶界面的内在机理.界面函数 w2+Do2 (47) 式(51)中的8有待进一步确定1四. 确定.如果 参考文献 S(=}+号+4-2+40- [1]Mullins WW.Sekerka R F.Stability of a phnar interface w2+Dw20, during solidification of a diute binary alloy.J Appl Phys, 1964,35:444 则界面是稳定的；如果S(ω>0，则界面是不稳 [2 Langer L A,Turski J S.Studies in the theory of the interfa- 定的.按照扰动振幅变化率和波数的色散关系 cial stability I:stationary ymmetric model.Acta Metall, (45),可以确定扰动的最主要波长由波数的最大 1977,32:1 值a确定，即入ms=2元/m1q.对于典型的 [3 Ungar L H,Brown R A.Celular interface morphologiesin d- 金属而言，胞晶或一次枝晶间距大约50m. rectional solidification II:the effect of grain boundaries.Phys 一阶扰动项的渐近解可表示为 RwB1984,30(7):3993 [4王自东，周永利，常国威，等.控制单相合金凝固界面形态 U=U1-e向-jP=po 48) 非线性动力学方程.中国科学E辑，1999.29(1)：1 T=-(1+J厂1M)+e'+ [匀吴金平，侯安新，黄定华，等.凝固平界面的非线性不稳定 性与动力学分岔.中国科学E辑，2000,30：494 Uc(1-2)it)-JMat)]e'sinox [6 Xu JJ.Interfacial Wave Theory of Pattern Fomation.Berlin: 49) Springer-Verlag Publishers,1998 Ts=-J厂1M十 【7)王自东.胡汉起.熔体对流与形核之间的理论模型和实验 证据/凝固科学技术与材料发展香山科学会议.北京. Uoel-To2 t)-JMdt)]e's'sinox 2003:63 (50 18 Buchholz A.Engler S.The influence of forced convection on

再由式( 36)和式( 42)确定界面生长率 δ · ( t) / δ( t ) 和波数 ω满足的色散关系为 : δ · ( t) δ( t) = 1 1 +J -1 M( kλS -λT) · [ Γω 2 ( λT -kλS) -λT -ω 2 +ΓJω 2 ] ( 45) 凝固系统界面的稳定性取决于 δ · ( t) / δ( t) 的符 号.当 δ · ( t) / δ( t ) 0 时, 界面是不稳定的.因式( 45)右 边的分式的分母总是正的, J -1 M( kλS -λT )使得 扰动变化率 δ · ( t) / δ( t) 减小, 所以界面动力学系 数是界面的稳定性因素.式( 45)右边方括号内的 Γω2 ( λT -kλS ) 项总是负的, 这使得扰动变化率 δ · ( t)/ δ( t)减小, 所以界面能是界面的稳定因素. 式( 45) 右边方括号内的 ΓJω2 项是正的, 使得扰 动变化率 δ · ( t) / δ( t) 增大, 所以界面变化所消耗 的能量是界面的不稳定因素.记 S ( ω) =Γω2 ( λT -kλS) -λT -( 1 -ΓJ ) ω2 ( 46) 所以界面的稳定性取决于 S ( ω) 的符号 .当 S ( ω) 0 时, 界面 是不稳定的;当 S ( ω) =0 时, 界面是中立稳定的. 特别地, 如果取 k T =k S, 忽略界面动力学的影响, 则 δ · ( t) δ( t) = 1 2 + 1 2 1 +4 ω 2 -Γω 2 1 +4 ω 2 - ω 2 +ΓJω 2 ( 47) 确定 .如果 S ( ω) = 1 2 + 1 2 1 +4 ω2 -Γω2 1 +4 ω2 - ω2 +ΓJ ω2 0, 则界面是不稳 定的.按照扰动振幅变化率和波数的色散关系 ( 45), 可以确定扰动的最主要波长由波数的最大 值 ωmax 确定, 即 λmax =2π/ ωmax [ 10] .对于典型的 金属而言, 胞晶或一次枝晶间距大约 50 μm . 一阶扰动项的渐近解可表示为 U =iU ∞ 1 -e -1 Pr y -j, P =P0 ( 48) T L =-( 1 +J -1 M) +e -y + U ∞[ ( 1 -Γω2 ) δ( t) -J -1 Mδ · ( t)] e λT y sin ωx ( 49) TS =-J -1 M + U ∞[ -Γω2δ( t) -J -1 Mδ · ( t)] e λS y sin ωx ( 50) h =0 +δ( t) U ∞sin ωx ( 51) 其中 U ∞作为小参数.继续进行下去可计算二阶 扰动项的渐近解.流场的二阶扰动项满足的方程 与式( 29) ～ ( 30)一致, 界面条件为 : U2 =- h1 Pr i, ( 52) 远场条件为: U2 ※0 . ( 53) 对于温度场, 固相温度的二阶扰动项与式( 32) 一 致, 液相温度的二阶扰动项满足 - T L2 y +u1 TL1 x +v 2 T L0 y = 2 TL2 ( 54) 界面条件与远场条件分别与式( 34) ～ ( 36) 和式 (38)一致.可以看出, 远场来流将影响界面扰动 的变化率和波数. 3 结论 将M ullins 和 Sekerka [ 1] , Xu [ 6] 和 Davis [ 11] 的 分析结果推广到有对流的流场中 .从上述分析可 以看出, 利用渐近分析方法把流场 、温度场以及界 面的耦合作用减弱, 在小的远场来流扰动作用下 得到了纯熔体内流场 、温度场以及界面形状的一 阶渐近解, 导出了液固界面的扰动振幅变化率与 波数的色散关系, 从而判定具有液固平直界面的 凝固过程的稳定性, 揭示了金属凝固过程中液固 平直界面转变为胞晶界面的内在机理.界面函数 式( 51)中的 δ有待进一步确定[ 12] . 参 考 文 献 [ 1] Mullins W W, Sekerka R F .S tability of a planar in terf ace during solidification of a dilut e binary alloy .J Appl Phys, 1964, 35:444 [ 2] Langer L A, Turski J S.Studies in the theory of the interfa￾cial stability Ⅰ :stationary symmetric model.Acta Metall, 1977, 32:1 [ 3] Ungar L H, Brown R A.Cellular interface morphologiesin di￾rectional solidification Ⅱ :the effect of grain boundaries.Phys Rev B, 1984, 30( 7) :3993 [ 4] 王自东, 周永利, 常国威, 等.控制单相合金凝固界面形态 非线性动力学方程.中国科学 E 辑, 1999, 29( 1) :1 [ 5] 吴金平, 侯安新, 黄定华, 等.凝固平界面的非线性不稳定 性与动力学分岔.中国科学 E 辑, 2000, 30:494 [ 6] Xu J J.Int erf acial Wave T heory of Patt ern Formation.Berlin: Springer -Verlag Publishers, 1998 [ 7] 王自东, 胡汉起.熔体对流与形核之间的理论模型和实验 证据 // 凝固科学技术与材料发展香山科学会议.北京, 2003:63 [ 8] Buchholz A, Engler S.The influence of forced convection on Vol.28 No.8 陈明文等:远场来流作用下纯熔体液固平直界面的稳定性分析 · 731 ·

。732· 北京科技大学学报 2006年第8期 solidification interfaces.Comput Mater Sci.1996.7:221 face in the directional gmwth of ice crystals.J Crystal [9 Kauerauf B.Zimmermann G.Murmann L et al.Planar to Growth.2000.209:167 celllar transition in the system succinonitrile-acctone during [II]Davis S H.Theory of Solidification.Cambridge University directional solidification of a bulk sample.J Crystal Growth. Press,2001 1998.193:701 【1胡汉起.金属凝固原理.2版北京：机械工业出版社， [10 Nagashima K,Furukawa Y.Time development of a solute 2000 diffusion field and morphological instability on a planar inter Stability analysis of a planar liquid/solid interface of directional solidification in pure melt under perturbation of a far-field flow CHEN Mingwen2),WANG Zidong?,Y ANG Wei,SUN Renji,WU Xianming) 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Materiak Science and Engincering School University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083,China 3)Beihai Grain and Vegetable Oil (Tianjin)Co.Ltd,Tianjn 300454.China ABSTRACT The stability of a planar liquid/solid interface of solidification in pure melt under perturbation of a small far-field flow was studied by using asymptotic analysis.A dispersion relation betw een the wave number and perturbation am plification rate w as derived,and the morphological stability of planar liquid-sol- id interface of solidification w as determined.The results reveal the mechanism of the transition from planar interface to cellular interface in directio nal solidification. KEY WORDS melt;crystal growth;liquid/solid interface;planar interface;asymptotic analysis Minimizing chemical interference errors for the determination of lithium in brines by flame atomic absorption spectroscopy analysis WEN Xianming2),MA Peihua,ZHU Geqin,WU Zhim ing2) 1)Qinghai Institute of Salt Lakes.Chinese Academy of Sciences,Xining 810008,Chima 2)Graduate School of Chinese Academy ofSciences,Beijing 100039.China ABSTRACT Chemical interferences(ionization and oxide/hydroxide fomation)on the atomic absorbance signal of lithium in FAAS analy sis of brine samples are elaborated in this article.It is suggested that inade- quate or overaddition of deionization buffers can lead to loss of sensitivities under particular operating condi- tions.In the analy sis of brine samples signal enhancing and oxide/hydroxide formation inducing signal re- duction resulting from overaddition of deionizat ion buffers can be seen with varying amounts of chemical buffers.Based on experimental results,the authors have arrived at the optimized operating conditions for the detection of lithium,under which both ionization and stable compound formation can be suppressed. This is a simplified and quick method with adequate accuracy and precision for the detemmination of lithium in routine brine samples from chemical plants or R &D laboratories,which contain comparable amounts of lithium with some other components. KEY WORDS analy tical chemistry;simplified method;FAAS;lithium;brine;deionization;oxide/hy- droxide fommation 【摘自Rare Metals,2006.25(4:309

solidification int erfaces.Comput Mater Sci, 1996, 7:221 [ 9] Kauerauf B, Zimmermann G, Murmann L, et al.Planar t o cellular transition in the system succinonitrile-acet one during directional solidification of a bulk sample.J Crystal Growth, 1998, 193:701 [ 10] Nagashima K, Furukawa Y .Time development of a solute diffusion field and morphologi cal instability on a planar inter￾f ace in the directional grow th of ice cryst als.J Crystal Growth, 2000, 209:167 [ 11] Davis S H .T heory of Solidification.Cambridge Universit y Press, 2001 [ 12] 胡汉起.金属凝固原理.2 版.北京:机械工业出版社, 2000 S tability analysis of a planar liquid/ solid interface of directional solidification in pure melt under perturbation of a far-field flow CHEN Mingwen 1, 2) , WANG Zidong 2) , Y ANG Wei 1) , SUN Renji 1) , WU X ianming 3) 1) Applied Science S chool, University of S cience and Technology Beijing, Beijing 100083, China 2) Materials Science and Engineering School, University of Science and Technology Beijing, Beijing 100083, China 3) Beihai Grain and Veget able Oil ( Tianjin) Co.Ltd., Tianjin 300454, China ABSTRACT The stability of a planar liquid/ solid interface of solidification in pure melt under perturbation of a small far-field flow w as studied by using asymptotic analysis .A dispersion relation betw een the w ave number and perturbation amplification rate w as derived, and the morphological stability of planar liquid-sol￾id interface of solidification w as determined .The results reveal the mechanism of the transition from planar interface to cellular interface in directio nal solidification . KEY WORDS melt ;crystal g row th ;liquid/solid interface ;planar interface ;asymptotic analysis Minimizing chemical interference errors for the determination of lithium in brines by flame atomic abso rption spectroscopy analysis WEN X ianming 1, 2) , MA Peihua 1) , ZHU Geqin 1) , WU Zhiming 1, 2) 1) Qinghai Institute of Salt Lakes, Chinese Academy of Sciences, Xining 810008, China 2) Graduate S chool of Chinese Academy of S ciences, Beijing 100039, China ABSTRACT Chemical interferences ( ionization and o xide/hydroxide fo rmation) on the atomic absorbance signal of lithium in FAAS analy sis of brine samples are elaborated in this article .It is suggested that inade￾quate or overaddition of deionization buffers can lead to loss of sensitivities under particular operating condi￾tions .In the analy sis of brine samples, sig nal enhancing and oxide/hydroxide formation inducing sig nal re￾duction resulting from overaddition of deionization buffers can be seen with varying amounts of chemical buffers .Based on experimental results, the authors have arrived at the optimized operating conditions for the detection of lithium, under w hich both ionization and stable compound formation can be suppressed . This is a simplified and quick method w ith adequate accuracy and precision for the determination of lithium in routine brine samples from chemical plants or R &D laboratories, w hich contain comparable amounts of lithium with some other components . KEY WORDS analy tical chemistry ;simplified method ;FAAS ;lithium ;brine;deionization ;oxide/hy￾droxide formation [ 摘自 Rare Metals, 2006, 25( 4) :309] · 732 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 8 期