D01:10.13374j.isml00103x2006.09.016 第28卷第9期 北京科技大学学报 Vol.28 Na 9 2006年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sep.2006 时变时带不确定系统的鲁棒控制 史桂刚 廖福成 北京科技大学应用科学学院.北京100083 摘要基于鲁棒二次稳定性理论，采用线性矩阵不等式方法.研究了具有时变状态时滞的不确 定系统的鲁棒H控制问题，给出了对所有允许不确定性.被控对象满足H范数界Y约束下鲁棒 二次稳定的一个充分条件.通过求解一个线性矩阵不等式.即可获得H。状态反馈控制器. 关键词时滞系统：鲁棒H控制；鲁棒二次稳定：线性矩阵不等式 分类号TP13TP273 近年来，带有时滞的不确定系统的鲁棒控制 Y+EXE+G品Xa'G0，适当维数的 z(t=(C+△C)x(t)+(C1+△C)x(t- 向量x,y和适当维数的矩阵F(1),若 d(1))+Di(t)+(D2+AD2)u(t) F(t)F(t)≤L,则 x(t)=中(t),t[-h,0 2xFt)y≤exx+ey. (1) 引理9给定适当维数的对称矩阵Y和 式中，状态向量x(t)∈R”:控制输入向量u(t)∈ R":被调输出z(1)∈R;干扰信号ω(t)∈R; 适当维数的矩阵E,G,如果存在正常数h(i= A,A1,B1,B2,C,C,D1,D2为已知的适当维数 L,2N),使得 的实常矩阵：△A,△A1,△B2,△C,△C1,△D2为系 收稿日期：2005-06-11修回日期.200603-24 统的范数有界的时变不确定性矩阵；d(t)为系统 基金项目：国家自然科学基金重大研究计划资助项目(N。 的时变延迟，且满足 90304007 作者简介：史桂刚(1981一），男，硕士研究生：廖福成(1957一） 0≤d(t)≤h<o∞d(t)≤≤1. 男。教授 假设w(t)∈L2[0,∞).系统不确定性矩阵
时变时滞不确定系统的鲁棒控制 史桂刚 廖福成 北京科技大学应用科学学院, 北京 100083 摘 要 基于鲁棒二次稳定性理论, 采用线性矩阵不等式方法, 研究了具有时变状态时滞的不确 定系统的鲁棒 H ∞控制问题, 给出了对所有允许不确定性, 被控对象满足 H ∞范数界 γ约束下鲁棒 二次稳定的一个充分条件.通过求解一个线性矩阵不等式, 即可获得 H ∞状态反馈控制器. 关键词 时滞系统;鲁棒 H ∞控制;鲁棒二次稳定;线性矩阵不等式 分类号 TP13;TP 273 收稿日期:2005 06 11 修回日期:2006 03 24 基金项目:国家自然科学基金重大研究计划资助项目 ( No . 90304007) 作者简介:史桂刚( 1981—) , 男, 硕士研究生;廖福成( 1957—) , 男, 教授 近年来, 带有时滞的不确定系统的鲁棒控制 及鲁棒 H ∞控制得到了广泛的研究[ 1 5] .文献[ 1] 研究了状态和控制同时存在时滞的线性时变不确 定时滞系统的鲁棒 H ∞控制器的分析和综合问 题.文献[ 2] 基于 Riccati 方程方法推导得到了鲁 棒输出反馈控制器存在的充分条件, 并可通过求 解两个线性矩阵不等式构造出动态输出反馈控制 器观测增益矩阵和反馈增益矩阵 .文献[ 4] 给出 了范数有界时变不确定时滞系统时滞依赖可镇定 的一条新准则.文献[ 5] 针对时变时滞不确定系 统, 讨论了其鲁棒控制器设计问题, 但结果比较保 守.本文针对文献[ 5] 所考虑的系统, 讨论范数有 界时变参数不确定性更具一般性时系统的鲁棒 H ∞控制器设计问题 .文中, 用 Im 表示 m ×m 单 位矩阵.因为多次用到 n ×n 单位矩阵, 所以用 I 表示 n ×n 单位矩阵.在无须指出单位矩阵的阶 数时, 也用 I 表示 .‖·‖表示向量的 Euclid 范 数, 而 ‖·‖2 是通常的 L2[ 0, ∞)范数 . 本文要用到以下两个引理 : 引理 1 [ 3] 对于任意常数 ε>0, 适当维数的 向量 x, y 和 适 当 维 数 的 矩 阵 F ( t ), 若 F T ( t) F( t) ≤I, 则 2x T F( t) y ≤εx T x +ε-1 y T y . 引理 2 [ 6] 给定适当维数的对称矩阵 Y 和 适当维数的矩阵 Eb, Gb, 如果存在正常数 μi( i = 1, 2, …, N ), 使得 Y +EbXρE T b +G T b X -1 σ Gb <0 . 其中, Xρ=diag{μ1 Iρ1 , μ2 Iρ2 , …, μNIρN}, Xσ=diag{μ1 Iσ1 , μ2 Iσ2 , …, μNIσN}. 则对所有满足 F T d Fd ≤Iσ的 Fd = F1 F2 FN , Fi ∈ R ρi ×σi ( i =1, 2, …, N), σ= ∑ N i =1 σi , 下式成立, Y +EbFd Gb +G T bF T d E T b <0 . 1 系统描述和定义 考虑不确定系统 : x · ( t) =( A +ΔA) x( t) +( A1 +ΔA1) x( t - d( t)) +B1 ω( t) +( B2 +ΔB2) u( t) z( t) =( C +ΔC) x( t) +( C1 +ΔC1) x( t - d( t)) +D1 ω( t) +( D2 +ΔD2) u( t ) x ( t) = ( t), t ∈[ -h , 0] ( 1) 式中, 状态向量 x( t ) ∈R n ;控制输入向量 u( t) ∈ R m ;被调输出 z ( t ) ∈ R q ;干扰信号 ω( t) ∈ R l ; A, A1, B1, B2, C, C1, D1, D2 为已知的适当维数 的实常矩阵 ;ΔA, ΔA1, ΔB2, ΔC, ΔC1, ΔD2 为系 统的范数有界的时变不确定性矩阵 ;d ( t) 为系统 的时变延迟, 且满足 0 ≤d( t) ≤h <∞, d′( t) ≤β ≤1 . 假设 ω( t) ∈ L2[ 0, ∞) .系统不确定性矩阵 第 28 卷 第 9 期 2006 年 9 月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol .28 No.9 Sep.2006 DOI :10.13374/j .issn1001 -053x.2006.09.016
。876· 北京科技大学学报 2006年第9期 满足 x(t=(A+B2K+△A+△B2K)x(t)+ △A=M1F1(t)E1,△A=M2F2(t)E2, (A1+△A)x(t-d(t))+B1ω(t) △B2=M3F3(t)E3 (2) z(t)=(C+D2K+△C+△D2K)x(t+ △C=M4F4t)E4,△C1=M5Fst)E5, (C+△C1)x(1-d(t))+D1w(t) △D2=M6F6(t)E6 (3) (6) 其中，M:和E:(=1,2,,6)为己知实数矩阵； 定理1给定一常数>0，如果存在正定矩 F()∈R"X9(i=L,2,,6)为未知函数矩阵， 阵P,S以及常数e>0(i=1,2,3),使得对任意 F:(t)表示不确定性.假设F:(t)的每一元素都 满足式(4)的不确定矩阵F:(t)(i=12,…,6), 若还满足 是Lebesgue可测的，且满足 F(t)F()≤Le,i=l,2…6 (4) 小 PA1 PB1 为书写方便以后的推导中均以F:代替 Ap-1-s+EE?0(C+△CP 0，如果对于任意允 x(t)Sx(t)-(1-B)x(t-d(t))Sx(t-d(t)). 许的时变参数不确定性满足条件： 将x(t)的表达式代入上式。并利用引理1可以得 (1)系统是鲁棒二次稳定的； 到： (2)在零初始条件假设下，满足H∞范数界Y x(t),t)≤ 约束条件 x(t) PA I‖zt)‖2≤Y‖w(t)l2,Hw(t)∈L20,o∞， Lxt-d()月LAP-(1一)S+'EE2 则称系统(1儿ut)=0是H范数界Y约束下 x(t) 鲁棒二次稳定的. Lx(t-d(小： 由(7)知， 2主要结果及其证明 Σ PA Φ= <0 考虑系统(1)在状态反馈控制律“(t)= AP -(1-β)S+2E5E2 Kx(t)下的鲁棒二次稳定性，这时闭环系统状态 从而 表达式为： 以x(t),t)≤
满足 ΔA =M1F1( t) E1, ΔA1=M2F2( t) E2, ΔB2 =M3F3( t) E3 ( 2) ΔC =M 4F4( t) E4, ΔC1 =M5F5( t) E5, ΔD2 =M6F6( t) E6 ( 3) 其中, Mi 和Ei( i =1, 2, …, 6) 为已知实数矩阵; Fi( t) ∈ R m i ×e i ( i =1, 2, …, 6) 为未知函数矩阵, Fi( t)表示不确定性.假设 Fi ( t ) 的每一元素都 是 Lebesgue 可测的, 且满足 F T i ( t) Fi( t) ≤Ie i , i =1, 2, …, 6 ( 4) 为书写方便, 以后的推导中均以 Fi 代替 Fi( t) . 本文涉及系统鲁棒二次稳定和 H ∞范数界 γ 约束下鲁棒二次稳定的概念. 定义 1 [ 7] 对于系统( 1)[ u( t ) =0, ω( t) = 0] , 如果存在正定矩阵 P, S 以及正常数 α使得对 任意的( x( t), t ) ∈ R n ×R 和任意允许的不确定 性, Lyapunov 函数 V( x ( t), t) =x T ( t) Px( t) + ∫ t t-d ( t) x T ( θ) Sx( θ) dθ, 关于时间 t 的导数满足条件 V · ( x( t), t ) ≤-α‖ x( t) ‖ 2 ( 5) 则称系统( 1)[ u( t) =0, ω( t ) =0] 时是鲁棒二次 稳定的. 由于 矩 阵 P, S 正定, d ( t ) ≥0, 所 以 V( x ( t), t)具有无穷大性质与无穷小上界 .再由 式( 5) , V ( x( t) , t) 的全导数对于所有允许的不 确定性是负定的 .因此, 若系统( 1) [ u ( t) =0, ω( t) =0] 鲁棒二次稳定, 则它必然是鲁棒稳定的. 定义 2 [ 1] 给定常数 γ>0, 如果对于任意允 许的时变参数不确定性, 满足条件 : ( 1) 系统是鲁棒二次稳定的 ; ( 2) 在零初始条件假设下, 满足 H ∞范数界 γ 约束条件 ‖ z( t) ‖2 ≤γ‖ ω( t) ‖2, ω( t) ∈ L2[ 0, ∞) , 则称系统( 1)[ u( t) =0] 是 H ∞范数界 γ约束下 鲁棒二次稳定的 . 2 主要结果及其证明 考虑系统( 1) 在状态反馈控制律 u ( t ) = Kx ( t)下的鲁棒二次稳定性, 这时闭环系统状态 表达式为 : x · ( t) =( A +B2K +ΔA +ΔB2K ) x( t) + ( A1 +ΔA1) x( t -d ( t) ) +B1 ω( t) z( t) =( C +D2 K +ΔC +ΔD2K ) x( t) + ( C1 +ΔC1) x( t -d ( t) ) +D1 ω( t) ( 6) 定理 1 给定一常数 γ>0, 如果存在正定矩 阵 P, S 以及常数εi >0( i =1, 2, 3), 使得对任意 满足式( 4)的不确定矩阵 Fi ( t ) ( i =1, 2, …, 6), 若还满足 PA1 PB1 Ψ T A T 1 P -(1 -β) S +ε -1 2 E T 2 E2 0 ( C1 +ΔC1) T B T 1 P 0 -γ 2 Il D T 1 Ψ C1 +ΔC1 D1 -I1 <0 ( 7) 则闭环系统( 6)是鲁棒二次稳定的, 且有 ‖ z( t) ‖2 ≤γ‖ ω( t) ‖2, ω( t) ∈ L2[ 0, ∞) . 其中, =( A +B2K ) T P +P( A +B2K ) + ε1PM1M T 1 P +ε2PM 2M T 2 P +ε3PM 3M T 3 P + ε -1 1 E T 1 E1 +ε -1 3 K T E T 3 E3K +S, Ψ=C +D2K +ΔC +ΔD2K 证明 首先定义 Lyapunov 函数 : V( x ( t), t) = x T ( t ) Px( t) +∫ t t-d ( t) x T ( θ) Sx( θ) dθ. 当 ω( t) =0 时, V ( x ( t ), t) 沿着系统( 6)的轨线 的全导数满足 : V · ( x( t), t) =x · T ( t) Px( t) +x( t) P x ·T ( t ) + x T ( t) Sx ( t) -( 1 -d′( t) ) x T ( t -d ( t)) Sx( t - d ( t) ) ≤x ·T ( t) Px ( t) +x( t) P x ·T ( t) + x T ( t) Sx( t) -( 1 -β) x T ( t -d(t)) Sx( t -d( t)) . 将 x · ( t) 的表达式代入上式, 并利用引理 1 可以得 到: V · ( x( t), t) ≤ x( t) x( t -d( t)) T PA1 A T 1 P -(1 -β) S +ε-1 2 E T 2 E2 × x ( t) x ( t -d( t)) . 由( 7)知, Υ= PA1 A T 1 P -( 1 -β) S +ε-1 2 E T 2 E2 <0, 从而 V · ( x( t), t) ≤ · 876 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 9 期
Vol.28 No.9 史桂刚等：时变时滞不确定系统的鲁棒控制 877。 [w-≤ J=le:f-roand. 入m(Φ)[‖x(t)I2+‖x(t-d(t)）2≤ 显然对任意非零的ω(1)∈L[0,∞，利用 入a(Φ)lx()Il2. Lyapunov函数和零初始条件，可以导出 其中，入mx(Φ)表示矩阵Φ的最大特征值.由高 J=J0[z'(Wz)-Y2w'()o)+ 等代数知识可知入ma(Φ0，令a=一入max(Φ)， 则0，式(5)成立.因此闭环系统(6)是鲁棒二 Me小d≤(a. 次稳定的 其中， 在零初始条件下，引入 )=[xx(1-d)w(]T, +OTQ PA1+n'(C+△C) PB+OT D U- ATP+(C1+△C1)Tn(C1+△C)T(C1+△C1)-(1-B)S+2'EE2(C1+AC)TD1 BIP+DIO Di(C+△C) -Y21+DIDL 对式(7)应用矩阵的Schr补性质，可得KO,所 综上所述，定理1得证. 以 定理2定正常数Y,如果存在e>0(i=1, lz(t)‖2≤Y‖ω(t)‖z,Hw(t)∈L2[0,∞. 2,,6)以及正定矩阵X,V和矩阵W,使得 名 AIV BI(CX+D T (ELX)T 0 (E3W)T (E4X)T 0 (E6 w)T M -(1-9V 0 0 E 0 0 T B1 0 -Y11 DI 0 0 CX+D W CI 0 EIX 0 0 0 0 0 E2 V 0 0 0 <0 (8) E3W 0 0 0 E4X 0 0 0 Es V 0 一e5les 0 0 E6W 0 0 一6e6 X 0 0 0 0 0 0 0 0 其中，0=(AX+B2W)T+(AX十B2W)十 0 0 0 0 0 F4 EMIMi+E2M2M2+E3M3M3. 0 H Fs E--1g+E4M4M4+ESMSMS+E6M6Mo 0 0 0 (9) M4 Ms M6 则闭环系统(6)是H范数界Y约束下鲁棒二次 E 0 000 (E6K) E4 稳定的，相应的反馈控制律为 0 E500+ 0 E 0 u(t)=WXx(t). E6K 0 00 0 0 0 证明令 H- L00 0 PA1 PB1 (C+D2K) Fl 000 Mi Ap-(1-+ 0 c 0 00M5<0(10 Bp 0 -Yn DI F000 M LC+D2K 心 DI -la 由引理2知若存在常数e4,5,e6使得 则条件(7)等价于
x T ( t) x T ( t -d ( t) ) Υ x( t) x( t -d ( t) ) ≤ λmax ( Υ)[ ‖x( t) ‖ 2 +‖x( t -d ( t) ) ‖ 2 ≤ λmax ( Υ) ‖x( t) ‖ 2 . 其中, λmax ( Υ)表示矩阵 Υ的最大特征值.由高 等代数知识可知 λmax ( Υ) 0, 式( 5)成立.因此闭环系统( 6) 是鲁棒二 次稳定的 . 在零初始条件下, 引入 J =∫ ∞ 0 [ z T ( t) z( t) -γ2 ω T ( t) ω( t )] d t . 显然, 对任意非零的 ω( t ) ∈ L 2[ 0, ∞), 利用 Lyapunov 函数和零初始条件, 可以导出 J =∫ ∞ 0 [ z T ( t) z( t) -γ2 ω T ( t) ω( t) + V · ( x( t ))] d t ≤∫ ∞ 0 ξ T ( t) Uξ( t) d t . 其中, ξ( t) = x T x T ( t -d( t)) ω T ( t) T , U = +ΨT Ψ PA1 +ΨT ( C1 +ΔC1) PB1 +ΨT D1 A T 1 P +( C1 +ΔC1) T Ψ ( C1 +ΔC1) T ( C1 +ΔC1) -( 1 -β) S +ε-1 2 E T 2 E2 ( C1 +ΔC1) TD1 B T 1 P +D T 1 Ψ D T 1 ( C1 +ΔC1) -γ2 Il +D T 1 D1 . 对式( 7)应用矩阵的 Schur 补性质, 可得 U 0( i =1, 2, …, 6)以及正定矩阵 X, V 和矩阵 W, 使得 0 A1 V B1 ( CX +D2 W) T ( E1X) T 0 ( E3 W) T ( E4 X) T 0 ( E6 W) T X VA T 1 -( 1-β) V 0 VC T 1 0 VE T 2 0 0 VE T 5 0 0 B T 1 0 -γ 2 Il D T 1 0 0 0 0 0 0 0 CX +D2 W C1 V D1 Ξ 0 0 0 0 0 0 0 E1 X 0 0 0 -ε1 Ie 1 0 0 0 0 0 0 0 E2 V 0 0 0 -ε2Ie 2 0 0 0 0 0 E3 W 0 0 0 0 0 -ε3 Ie 3 0 0 0 0 E4 X 0 0 0 0 0 0 -ε4Ie 4 0 0 0 0 E5 V 0 0 0 0 0 0 -ε5 Ie 5 0 0 E6 W 0 0 0 0 0 0 0 0 -ε6 Ie 6 0 X 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -V <0 ( 8) 其中, 0 =( AX +B2 W ) T +( AX +B2 W ) + ε1M 1M T 1 +ε2M 2M T 2 +ε3M 3M T 3 , Ξ=-Iq +ε4M 4M T 4 +ε5M 5M T 5 +ε6M 6M T 6 ( 9) 则闭环系统( 6)是 H ∞范数界 γ约束下鲁棒二次 稳定的, 相应的反馈控制律为 u( t) =WX -1 x( t) . 证明 令 H = PA1 PB1 ( C +D2 K) T A T 1 P -( 1 -β) S +ε -1 2 E T 2 E2 0 C T 1 B T 1 P 0 -γ 2 Il D T 1 C +D2 K C1 D1 -Iq , 则条件( 7)等价于 H + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 4 M5 M6 F4 F5 F6 × E4 0 0 0 0 E5 0 0 E6K 0 0 0 + E T 4 0 ( E6 K) T 0 E T 5 0 0 0 0 0 0 0 × F T 4 F T 5 F T 6 0 0 0 M T 4 0 0 0 M T 5 0 0 0 M T 6 <0 ( 10) 由引理 2 知, 若存在常数 ε4, ε5, ε6 使得 Vol.28 No.9 史桂刚等:时变时滞不确定系统的鲁棒控制 · 877 ·
。878 北京科技大学学报 2006年第9期 0 0 0 EA Ima 0 00 MI E 0 (E6K)T 0 0 0 H+ 0 0 0 E吲 0 0 0 EsIms M 0 0 0 M4 Ms M6 0 00 M 0 E4 0 0 le, 0 Es 0 0 (11) E6K 0 0 则有(10)式成立. 记 0 0 0 EAIma 0 00M 0 0 0 H1=H十 EsIms 0 0 0 0 0 M M4 Ms M6 0 00 M 即 PA PB (C+D2K) AP -(1-β)S+e2'E5E2 0 c H1= BiP 0 -Yn DI C+D2K C1 D1 E 三如(9)所示，则式(11)可改写为 E 0 (E6K) E4 00 0 H1+ 0 E 0 0 E500<0 (12) 0 0 0 6 EK 000 0 L 0 0 把式(12)左边改写后，可以变为： , E 0 (EsK)T E阳 0 (E6K) 0 0 0 H2+ E瓯 E吲 0 0 0 0 0 0 les L o 0 0 0 0 5 E 0 00 0 E 00 E3 K 0 0 0 <0 Ea 0 0 0 (13) 0 Es 0 E6K 00 0 其中
H + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M 4 M5 M6 ε4 Im4 ε5 Im5 ε6 Im 6 0 0 0 M T 4 0 0 0 M T 5 0 0 0 M T 6 + E T 4 0 ( E6K) T 0 E T 5 0 0 0 0 0 0 0 × ε-1 4 Ie 4 ε -1 5 Ie 5 ε -1 6 Ie 6 E4 0 0 0 0 E5 0 0 E6K 0 0 0 <0 ( 11) 则有( 10) 式成立 . 记 H1 =H + 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M4 M 5 M 6 ε4 Im 4 ε5 Im5 ε6 Im6 0 0 0 M T 4 0 0 0 M T 5 0 0 0 M T 6 , 即 H1 = PA1 PB1 ( C +D2K ) T A T 1 P -( 1 -β) S +ε-1 2 E T 2 E2 0 C T 1 B T 1 P 0 -γ 2 Il D T 1 C +D2 K C1 D1 Ξ . Ξ如( 9)所示, 则式( 11)可改写为 H1 + E T 4 0 ( E6 K) T 0 E T 5 0 0 0 0 0 0 0 ε-1 4 Ie 4 ε-1 5 Ie 5 ε-1 6 Ie 6 E4 0 0 0 0 E5 0 0 E6 K 0 0 0 <0 ( 12) 把式( 12) 左边改写后, 可以变为: H2+ E T 1 0 ( E3K) T E T 4 0 (E6K) T 0 E T 2 0 0 E T 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ε -1 1 Ie 1 ε -1 2 Ie 2 ε -1 3 Ie 3 ε -1 4 Ie 4 ε -1 5 Ie 5 ε -1 6 Ie 6 × E1 0 0 0 0 E2 0 0 E3 K 0 0 0 E4 0 0 0 0 E5 0 0 E6 K 0 0 0 <0 ( 13) 其中, · 878 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 9 期
Vol.28 No.9 史桂刚等：时变时滞不确定系统的鲁棒控制 ·879· 马 PA PB (C+D2K) AP -(1-)S 0 cl H2= BP 0 -y21 DI C+D2K C1 Di 三 这里， =(A+B2K)TP+P(A+BK)+EPMMIP+E2PM2M2P+E3PM3M3P+S. 两次应用矩阵的Schur补性质，式(13)等价于 2 PB1 (C+D2K)T E 0 (E K)T (E6)T AiP -(1-)S0 cl 0 E 0 0 E 0 0 Bip 0 -y1 0 0 0 0 C+D2K CI D1 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 -e1 le 0 0 0 0 0 E2 0 0 一2Ie、 0 <0 E3K 0 0 0 0 —2。 0 0 0 E4 0 0 一4Ie 0 0 Es 0 0 -E5 les 0 0 E6K 0 0 0 0 0 0 0 0 一6le 0 0 0 0 0 0 0 -SI (14) 其中， =S,通过化简，即可推出线性矩阵不等式 2=(A十B2K)TP+P(A+BK)十 (8).定理证毕. EPM M P+PM2M P+E3PM3M3 P. 在式(14)两边左乘和右乘G=dg{P,S, 3算例 1g,1,,1e。1,并令X=P-,w=KPl, 考虑不确定时滞系统 1 0.1 x(t0= 2+0.02P11(,x(t) 0.2+0.0121(tx(t) x(t)+ 0 1+0.02912t,x(t)J 0 0.1+0.01922(t,x(t) 1 L0.1 z()=[11+0.02941(t,x()】x(t)+[0.1+0.01951(t,x(t)0.1x(t-d(t)+0.1m(t)+ [1+002961(t,x(t)](t, 与系统(1)对比知其参数矩阵分别为： M4=[0.020,M5=[0.0101, 4[6-[28a-[ M6=[002 01 0,E4=0d _「0.0201 [1,M-00.02 B2= E-[0日e= [1 M2= 0.0101 _「001E_「10 0a01M=00m,E=01 [9a(,t)0 1 0 92(6,x(t小 (i=12), 「10 「0 F(t)=91(t,x(t)（=3,4,5,6), 其中，dt)=5+0.2c0s(t),F(t(i=1,2,,6) C1=[0.10.1],D1=0.L,D2=L, 满足
H2 = 1 PA1 PB1 ( C +D2K) T A T 1 P -( 1 -β) S 0 C T 1 B T 1 P 0 -γ2 I D T 1 C +D2K C1 D1 Ξ 这里, 1 =( A +B2K) T P +P( A +B2K ) +ε1PM1M T 1 P +ε2PM2M T 2 P +ε3PM 3M T 3 P +S . 两次应用矩阵的 Schur 补性质, 式( 13)等价于 2 PA1 PB1 ( C +D2 K) T E T 1 0 ( E3 K) T E T 4 0 ( E6 K) T I A T 1 P -( 1 -β) S 0 C T 1 0 E T 2 0 0 E T 5 0 0 B T 1 P 0 -γ 2 Il D T 1 0 0 0 0 0 0 0 C +D2 K C1 D1 Ξ 0 0 0 0 0 0 0 E1 0 0 0 -ε1 Ie 1 0 0 0 0 0 0 0 E2 0 0 0 -ε2 Ie 2 0 0 0 0 0 E3 K 0 0 0 0 0 -ε3 Ie 3 0 0 0 0 E4 0 0 0 0 0 0 -ε4 Ie 4 0 0 0 0 E5 0 0 0 0 0 0 -ε5 Ie 5 0 0 E6 K 0 0 0 0 0 0 0 0 -ε6 Ie 6 0 I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -S -1 <0 ( 14) 其中, 2 =( A +B2K) T P +P( A +B2K ) + ε1PM1 M T 1 P +ε2PM2M T 2 P +ε3PM3M T 3 P . 在式( 14) 两边左乘和右乘 G =diag{P -1 , S -1 , Il , Iq, Ie 1 , …, Ie 6 , I}, 并令 X =P -1 , W =KP -1 , V=S -1 , 通过化简, 即可推出线性矩阵不等式 ( 8) .定理证毕. 3 算例 考虑不确定时滞系统 x · ( t) = 2 +0.02 φ11( t, x( t) ) 1 0 1 +0.02 φ12( t , x( t) ) x( t ) + 0.2 +0.01 φ21( t, x( t )) 0.1 0 0.1 +0.01 φ22( t, x( t) ) × x( t -d ( t )) + 0.1 0.1 ω( t ) + 1 1 +0.01 φ31( t , x( t )) u( t ), z( t) = 1 1 +0.02 φ41( t, x( t)) x( t) + 0.1 +0.01 φ51( t , x( t) ) 0.1 x( t -d ( t) ) +0.1 ω( t) + [ 1 +0.02 φ61( t, x ( t))] u( t), 与系统( 1)对比知其参数矩阵分别为: A = 2 1 0 1 , A1 = 0.2 0.1 0 0.1 , B1 = 0.1 0.1 , B2 = 1 1 , M1 = 0.02 0 0 0.02 , M2 = 0.01 0 0 0.01 , M3 = 0 0 0 0.01 , E1 = 1 0 0 1 , E2 = 1 0 0 1 , E3 = 0 1 , C =[ 1 1] , C1 =[ 0.1 0.1] , D1 =0.1, D2 =1, M4 =[ 0.02 0] , M5 =[ 0.01 0] , M6 =[ 0.02 0] , E4 = 0 1 0 0 , E5 = 1 0 0 0 , E6 = 1 0 , Fi( t) = φi1( t, x( t)) 0 0 φi2( t, x( t)) ( i =1, 2), Fi( t) =φi 1( t, x ( t)) ( i =3, 4, 5, 6), 其中, d( t) =5 +0.2cos( t ), Fi( t)( i =1, 2, …, 6) 满足 Vol.28 No.9 史桂刚等:时变时滞不确定系统的鲁棒控制 · 879 ·
。880· 北京科技大学学报 2006年第9期 FH(t)F(t)≤I 制器不仅使闭环系统是鲁棒二次稳定的，而且满 即91(6，x(t)月2≤1(i=1,2,6, 足一定的H范数界约束.数值算例表明了H。 [92(t,x(t)]2≤1(i=1,2). 控制器设计方法的可行性. 取B=0.2.选取y=L,应用M atlab软件的 参考文献 LMI工具箱进行设计，求得 【】王景成，苏宏业，金建样，等.线性时变不确定时滞系统的 0.13060.2651 2.2219-0.0617 X= 鲁棒H控制.控制理论与应用.1998.15(2)：257 L0.26510.7305 L-0.0617 5.0802 【?苏宏业，王景成，周凯，等。时变时滞不确定系统的鲁棒输 W=[-1.2488-16368,e1=8.3459, 出反馈控制.自动化学报，1999.25(4)：513 e2=122056,e3=9.4762,e4=83565, [3]张小形，李红利，兰立柱，等。不确定时滞系统的鲁棒镇 定.石油化工高等学校学报，2003,16(1)：52 e5=9.7077,e6=9.4666. [4 Kwon O M.Park J H.On Improved delay-dependent robust 状态反馈控制器为 control for uncertain time-delay systems.IEEE Trans Autom t)=WXx()=[-19.064646786x(t). Con trol,,2004.49(11):1991 [习赵培文，姚郁，徐刘全.时变时滞不确定系统的鲁棒控制. 4 结论 电机与控制学报，2000.4(2)：69 【(李志虎王景成，邵慧鹤.时变不确定离散时滞系统的H。 本文重点研究了时变时滞不确定系统的鲁棒 鲁棒控制.控制理论与应用，2003.20(1)：139 H控制器设计问题.只要求解一个线性矩阵不 【刀张庆灵，杨冬梅.不确定广义系统的分析与综合.沈阳：东 等式即可获得无记忆线性状态反馈控制律.该控 北大学出版社，2003 Robust Hoo control for uncertain systems with time-varying delay SHI Guigang,LIAO Fucheng Appled Science School University of Science and Technology Beijing.Beijng 100083,China ABSTRACT Based on the quadratic stability theory,the problem of robust H control for time-delay sys- tems with time-varying uncertainties w as dealt with by using the linear matrix inequality approach.A suffi- cient condition for the systems to be quadratically stable with an He-norm bound y was presented for all admissible uncertainties.By solving a linear matrix inequality,the Ho state feedback controller was ob- tained. KEY WORDS time-delay system;robust He control;quadratic stability:linear matrix inequality
F T i ( t) Fi( t) ≤I 即[ φi 1 ( t, x ( t ))] 2 ≤1 ( i =1, 2, …, 6), [ φi2( t, x( t))] 2 ≤1( i =1, 2) . 取 β =0.2 .选取 γ=1, 应用 M atlab 软件的 LM I 工具箱进行设计, 求得 X = 0.130 6 0.265 1 0.265 1 0.730 5 , V= 2.221 9 -0.061 7 -0.061 7 5.080 2 , W = -1.248 8 -1.636 8 , ε1 =8.345 9, ε2 =12.205 6, ε3 =9.476 2, ε4 =8.356 5, ε5 =9.707 7, ε6 =9.466 6 . 状态反馈控制器为 u( t) =WX -1 x( t) =[ -19.064 6 4.678 6] x( t) . 4 结论 本文重点研究了时变时滞不确定系统的鲁棒 H ∞控制器设计问题 .只要求解一个线性矩阵不 等式即可获得无记忆线性状态反馈控制律.该控 制器不仅使闭环系统是鲁棒二次稳定的, 而且满 足一定的 H ∞范数界约束 .数值算例表明了 H ∞ 控制器设计方法的可行性 . 参 考 文 献 [ 1] 王景成, 苏宏业, 金建祥, 等.线性时变不确定时滞系统的 鲁棒 H ∞控制.控制理论与应用, 1998, 15( 2) :257 [ 2] 苏宏业, 王景成, 周凯, 等.时变时滞不确定系统的鲁棒输 出反馈控制.自动化学报, 1999, 25( 4) :513 [ 3] 张小彤, 李红利, 兰立柱, 等.不确定时滞系统的鲁棒镇 定.石油化工高等学校学报, 2003, 16( 1) :52 [ 4] Kw on O M, Park J H .On Improved delay-dependent robust control for uncertain time-delay syst ems.IEEE Trans Autom Control, 2004, 49( 11) :1991 [ 5] 赵培文, 姚郁, 徐刘全.时变时滞不确定系统的鲁棒控制. 电机与控制学报, 2000, 4(2) :69 [ 6] 李志虎, 王景成, 邵慧鹤.时变不确定离散时滞系统的 H ∞ 鲁棒控制.控制理论与应用, 2003, 20( 1) :139 [ 7] 张庆灵, 杨冬梅.不确定广义系统的分析与综合.沈阳:东 北大学出版社, 2003 Robust H ∞ control for uncertain systems with time-varying delay S HI Guigang , LIAO Fucheng Applied S cience School, University of Science and T echnology Beijing, Beijing 100083, China ABSTRACT Based on the quadratic stability theory, the problem of robust H ∞ control fo r time-delay sy stems w ith time-varying uncertainties w as dealt w ith by using the linear matrix inequality approach .A sufficient condition for the systems to be quadratically stable w ith an H ∞-norm bound γwas presented for all admissible uncertainties.By solving a linear matrix inequality , the H ∞ state feedback controller w as obtained . KEY WORDS time-delay system ;robust H ∞ control ;quadratic stability ;linear matrix inequality · 880 · 北 京 科 技 大 学 学 报 2006 年第 9 期