Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性

0:10.13374/j.1s8n1001053x.1998.01.021 Vol.20 No.1 北京科技大学学报 第20卷第1期 Feb.1998 Journal of University of Science and Technology Beijing 1998年2月 Hilbert空间上一类半线性随机 发展方程的稳定性 * 张志刚秦明达 北京科技大学应用科学学院，北京100081 摘要讨论Hilbert空间上半线性随机发展方程dY()=[AK)+f(Y()d山+G(Y()]dw()的稳 定性.为此引进了适度解的正则性和常返性等概念，利用Liapunov直接法得到了此类随机发展方 程的随机渐近稳定性、随机指数稳定性、P-稳定性和几乎必然指数稳定性的充分性判据.这些结 果不但推广了有限维情形的工作，同时也发展了A.Ichikawa的工作， 关键词半线性随机发展方程，适度解，Liapunov直接法 分类号0175 1预备知识 设(Q,F,P)为完备概率空间，(F),t≥0为F的递增、右连续的子o-域族.H和Y为实、可 分的Hilbert空间，Y(t)为Y值过程，w()为H值Viener过程（其协方差算子为Q),A为Y上强 连续半群S(t)的无穷小算子；以记为Hilbert空间的内积，并以【·|，‖·‖分别记为向量和 算子的范数，D(A)记为算子A的定义域；以L(H,)表示H+的有界线性算子空间，简记 L(Y)为L().记L,(Q,F,P)为p-可积的Y值随机变量空间. 本文考虑如下一类半线性随机发展方程： dY()=[A④+f(Y()ld+G(Oωdw(0,t∈[0，，Koo (1) Y(O)=yo∈Y 其中，f∈(y,G:YL(H,)满足f(0)=G0)=0且存在正数c,c,使y,zeY有 f0y)-l≤c,ly-z,lGy)-G(l≤cly-z, (1) y,为F,可测且独立于dw()的X值随机变量. 定义1（适度解mild-solution)称过程Y(),t≥0为方程(1）的适度解，如果 (I)0是(F)-适应的：(2)W0可测且Y0d<0as. a)0=0,+∫-pf0ot+∫-nc(dr0,as. 以后记y(5y,)为方程(1)的适度解. 记C:y)为Y×[0,刀上全体实值连续函数0y,)的集合，满足性质： (a)心y,)关于t可微，yeD(A:这里D()为具有A范数：0y,)连续，y川x0=y川2+|y2为 1997-11-18收稿张志刚男，34岁，讲师 ·国家自然科学基金资助课题(No.19671004)

北 京 科 技 大 学 学 报 段 第 卷 第 期 年 月 空 间上一类半线性随机 发展方程的稳定性 张志 刚 秦明 达 北京科技大学应用科学学 院 ， 北京 摘要 讨论 托 空 间上半线性 随机发展 方程 双 的稳 定性 为此引进 了适度解 的正 则性和 常返性等概念 ， 利用 直接法得到 了此类 随机发展方 移的 随机渐近稳定性 、 随机指数稳定性 、 一 稳定性 和 几乎必然 指数稳定性 的充分性判 据 这些 结 果不但推广 了有 限维情形 的工作 ， 同时也发展 了 的工作 关健词 半线性随机发展方程 ， 适度解 ， 直接法 分类号 预备知识 设 ， ， 为完备概率空 间 ， ， ， 七 为 的递增 、 右连续 的子 一 域族 和 为实 、 可 分 的 托 空 间 ， 为 醉 值过程 ， 为 值 过程 其协方 差算 子 为 ， 为 上 强 连续半 群 的无 穷小算 子 以 ， 记 为 环 空 间 的 内积 ， 并 以 ， · 分别 记 为 向量 和 算 子 的 范 数 ， 记 为算 子 的定 义 域 以 ， 力表 示 月爷 钓 有 界 线 性 算 子 空 间 ， 简 记 的为 力 · 记 气 。 ， ， 尸 约为 一 可 积 的 值 随机变量 空 间 · 本文考虑 如下 一类半线性 随机发展方程 丁 ‘ ‘ 一 〔 ” 了‘ ‘ ，，“ “ ‘” ，‘ ‘ ， “ 〔 ， ” ， 帐 的 。 ‘ 其 中 ， 〔 双 ， 卜 ， 力满足 且存在 正数 。 ， 几使 ， 有 『伽 一 人 ‘ 一 ， 妙 一 ‘ 一 卜 为 凡可 测 且独 立 于 的 值随机变量 定义 适度解 而 一 称过 程 ， 之 。 为方程 的适度解 ， 如果 。 是 一 适应 的 ‘ 可测且 丁 ’ 二 ， 、 。 一 ，。 夕。 丁 ，卜 ， ‘ · 丁 ，卜 玖 · ， 一 以后 记 八 为方程 的适度解 记 ” 妙 为 ， 刀上全体实值连续 函数 妙 ， 的集合 ， 满足性 质 心 ， 关 于 ‘ 可微 ， 夕‘ 这 里 刃 为具有 范数 。 ， 连续 ， ， 孰 ，一 川 ’ ’为 一 一 收稿 张志 刚 男 ， 岁 ， 讲师 国家 自然科学基金 资助课题 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1998．01．021

·94· 北京科技大学学报 1998年第1期 Y的子空间； (b)v0y,)关于y二次Fe'chet可微，te0,小：y,0y,),'ny,y,在Y×[0,刀上连续，y,eY 设vOy)为二次Fre'chet可微的函数，定义： L0y=+(1/2)rG'0)yy)G0y)2,yeD(40. 记C)为Y上的实值连续函数的全体，满足性质： (a)(y)二次Fre'chet可微；(b)v,y),'n)y连续于YHy,eY. 称ve,如果veCy)且满足： (a)Lvy)≤a0y),yeD(),其中uy)是Y上的某个连续函数； (b)luy)l+I0y)l+ly,y)l+lyn0y)l≤M1+ly川，k>0,p>0,yeY. 称vE。,如果除去y=0的可微性外，v具有C0)中函数的一切性质，且满足： (a)Lv0y)≤uy),yeD(),y+0,uy)是Y上的某个连续函数； (b)lu(y)l lv(y)I lyllv,(v)+ly2v)I s klyl,k>0,p >0,VyE Y.y#0. (c)存在具有下列性质的函数族：{(0y):00,p>0且w,,,当e→0时分别收 敛于u,v,y,v VyEYy+0. 下面引进文献[2]中关于方程(1)的适度解的2条重要引理 引理1设0y,0eC2(y)且 (1)lv,)l+lvv,)+vvIsk(1+ly),k>0.p 0,VE[O,T].yEY. ②（分+00，）≤0..)e(0,u是Y×0,刀上某个连续函数， u0y,)l≤M1+y,k>0,p>0.则 Uyw小)-0%0)≤J0ryw小)d+。. (2) 特别若0y,)=0,则0(t5》为上鞅. 引理2若0y)e,或当f(0)=0,G(0)=0时有0y)e'o:则(2)式成立，即 0w》-0,≤J,a0Wd+J。. 特别若4y)=0,则v0(ty)为上鞅. 2适度解的正则性、不可达性和常返性 为了探讨方程(1)的随机渐近稳定性的判据，首先对于该方程适度解的正则性、不可达性 和常返性给出如下定义和充分条件， 假定方程(I)中的f,G满足局部Lipshtz条件，即HN,3正数c1Nc2w使得当y川n

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 的子 空 间 心 ， 关于 二 次 ’ 可微 ， ， 刀 帐妙 ， ， 、 妙 ， ， 在 ， 刀上 连续 ， 设 妙 为二 次 ， 可微 的 函数 ， 定 义 巧切 ， 伽 ’ 妙 ， 妙 ， 夕 记 伽 为 上 的实值连续 函数 的全体 ， 满足性 质 妙 二 次 ’ 可 微 妙 ， 场妙妙 连续于 夕，〔 称 ，‘ ， 如 果 ‘ 妙 且 满 足 司 伽 ‘ 伽 ， ‘ 刀 乃 ， 其 中 伽 是 上 的某 个连 续 函 数 妙 称妙 妙 ， ， ， ‘ 称 气 ， 如果 除去 二 的可微性外 ， 具有 口妙 中函数 的一 切性 质 ， 且 满足 伽 伽 ， ‘ 侧 ， 羊 ， “ 切 是 上 的某 个 连续 函数 伽 夕 伽 少 ’ 与伽 ‘ 川 ， ，尸 ， 夕‘ 夕 羊 存 在具有 下列 性质 的 函数族 勺 。 二 ￡。 ， 讨妙 满足 且 ‘ 伽 ‘ 妙 可妙 心妙 ‘ 夕 ， ， 尸 且 ‘ ， ‘ ， 可 ， 心当￡一 时分别 收 敛于 “ ， ， ， 场 ， 羊 下 面 引进文 献汇 中关于 方程 的适度解 的 条重要 引理 引理 设 妙 ， ‘ ” 且 川 伽 ， 妙 ， 、 妙 ， ‘ 夕 ， ， 尸 ， 〔 ， ， 夕 嚎 。 。 ， 。 、 。 ， 。 ， 。 ， · 是 ， 。 上某 个 连续 函数 ， ， ‘ 夕 ” ， ， 夕 则 · 。 ， ，。 ， 。 一。 。 ， 二 丁 · 。 一 ，。 ， 犷 · 、 。 一 ，。 ， 。 ， ‘ 特别若 伽 ， ， 则 妙 为上 鞍 引理 若 砂 〔 ， 或 当 ， 时有 妙 则 式成 立 ， 即 · 。 ，。 卜 · 。 。 、 · 。 一 ，。 犷 丁 ·、 。 一 ，。 ， 。 一 。 · 特别 若 妙 ， 则 伽 夕。 为上鞍 适度解的正则性 不可达性和常返性 为 了探讨方程 的 随机渐 近稳定性 的判 据 ， 首 先 对于 该方 程 适度 解 的正则性 、 不 可 达性 和 常返性 给 出如 下 定 义 和 充分条件 假定 方程 中的 ， 满足局部 条件 ， 即 ， 日正 数 。 ， ‘ 丫 使得 当 川 ， ， 少 ， ‘ 时 ， 有 匕妙 一 ‘ ， 夕 一 ， 妙 一 、 夕 一 卜 且 ‘ 了 的 ，夕。 玖的 ， 其 中 玖的为 乓 。 ， ， 尸 ， 的子 空 间 ， 由 汽 一 可测 的随机变量 构 成 由文 献【 可 知方 程 存在 唯一适度解 ， 且 由 的任 意性 ， 不 难将此解 延拓到 ， 的 定义 正 则性 称过程 只 是 正 则 的 ， 如果 代 田 二 ， 其 中 为 只 的生存时间 ， 即 一 。 一 ， ， ，

Vol.20 No.1 张志刚：Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性 95 定理1设存在非负函数vEC,26y)满足引理1的条件(1)，且： (1)L*v≤cv,其中L°≡(O/0)+L,c>0,ye(A); (2)br)=infv0,)→oo,(r一0)，则方程(1)的适度解yy,)是正则的. 证：令u0y,)=v0y,e“,则L')=c“"Lv0y,)-ce-"w,)≤0. 由0y,)∈C2y)知4，)∈C6y),显然，)满足上述引理1的条件. 于是Eu0ty)≤u0y。,0),Evyo,)≤v0yo,0)e“=v0yo,0)e, 令t()=tnAt,则由上式可得 v0yo0)c0之EUc.0:y)r()之v0r.(0:yr()Pdw）)= t.0 . 显然v0yo,0)e≥v心y,0)e0,故由条件(2)得 e“v0yo0)e“y0) Prn0 令n+o,则b()→o因此1>0，Px0, 并由算子A的有界性可知〈纱，y》≤cy,c为某个正常数. 由tr0=1,0). 令t。=inft<0;b(tyl=e.()=t,At,则由引理2知 Bw》≤W+ka0te0Wt 应用Gronwall-Bellman不等式可得，EUyc,(),y)≤0oe,即Ec.(:yo)P≤l。'e, 令p=-1,得

张志 刚 托 空 间上 一类半线性 随机发展方程 的稳定性 定理 设存在非 负函 数 ‘ 《 ” 妙 满足 引理 的条件 ， 且 乙 ’ ‘ 。 ， 其 中 乙 ’ 三 乙 沙〔 “ 一悠 伽 ” 的 ， 的 ，则方程 ’ 的适度解 ， 是 正 则 的 · 证 令 “ 伽 ， 二 伽 ， 一 ‘ ，， 则 ’ “ 砂 ， 一 ‘ 伽 ， 一 。 一 ‘ 砂 ， ‘ 由 臼 ， ‘ ” 伽 知 伽 ， ‘ ” 伽 ， 显然 。 伽 ， 满足 上 述 引理 的条件 于是 伽 ， ‘ 饥 ， ， 妙协夕。 ， ‘ 伽 。 ， “ 伽 。 ， “ ， 令 ， ， 则 由上式可得 ·饥 ， 。 ，一 ‘。 一 。 仓 · ‘” 一， ， 二‘”，· 工 ，，· 。 ‘二‘” 一， ， 二‘”，代、 ， · 。 。 ，。 ， 。 。 、 二 · 。 ， 。 。 。 显然 妙 。 ， “ 之 妙 。 ， ， 故 由条件 得 代 。 ‘ “ 砂 。 ， “ 伽 。 ， 妙 ， 全 ” ， 令 一 ， 则 一 的 因此 ， 代 由 的任意性 知 代 的 ， 故 只。 是 正 则 的 定义 不可 达 设 。 一 ， 。 必为过 程 式。 关于 集 厌 ” 的首 达 时 ， 其 中 力为 上 的 子域 称 闭集 对于 过程 只。 是 不 可 达 的 ， 如果 价 。 的 定理 设方程 中算子 有界 ， 则 闭集 妙 对于 方程 的适度解 只。 是 不 可 达 的 一 证 令 妙 尸， 则咋妙 二 川 ” 一 莎 ， 肠妙 川川 ’ 一 ’ 印 一 回 ’ 一 加 ， 其 中 为单 位 阵 ， 运算 “ ” 的意义为 ， 定义 为 。 。 一 。 ， 。 ， 由于方程 中娜 ， 满足 且 匕妙 ‘ ， 夕 ， 妙 ‘ 少 ， ， ， 并 由算 子 的有界性 可知 ， 户 。 川 ’ ， 。 为某 个正 常数 由 一 艺 ‘ ， 。 ， ，一 。 ， ， 二 为协方差 阵 的特 征值 知 。 ， 故 ， 今 。 、 ， ’ ， 妙 。 ’ 。 、 。 ’ 二 ’ 从而 白伽 川少 一 ’夺 ， 伽 ‘ 砂 ’ 妙 ， 一 ’，夕勿一 夕 ” 一 场 。 ， 、 灸夕 ’ 肋 ， 令 。 一 此‘ ， ‘ 凡 一 ￡ ， 。 。 ‘ ， 则 由引理 知 。 ·。 。 ，，。 、 · 。 。卜 厂 。 ·‘ ， ， ， 应 用 一 不等式可得 ， 伽 。 ， 夕。 ‘ 伽 。 ， 即 夕 。 少。 夕 夕。 夕 ， 令 一 ， 得

·96· 北京科技大学学报 1998年第1期 p(do) pfdw）1 e≥e,0Wl=0:之，W =Pit,s"g00,eo, 从而P{x0， 有>=0,且plim=0}-1: 0+0 y。+0 (2)随机指数稳定的，如果廿e>0,y。∈Y3a>0,Ke)>0,使得t≥0有 Psupls:o)≥ef≤Ke)ly,lea (3)p-稳定的，如果1im,sup、Ely(t yo)P=0: 6-0lys6.120 (4)几乎必然指数稳定的，如果a>0,Y上的正实值随机变量函数K(y),使得y。∈Y(q), t≥0有y(tyo)l≤Kye-a.s. 定理4（随机渐近稳定性定理） 设存在函数vev:(1)0)=0,Vr>0,0E,yeD(0: ε>0，c.>0:(3)b(r)=infv0y)>0,r>0,则方程(I)的平凡解是随机渐近稳定的

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 ，。 一 二 二，， ·。 。 。 一 丁 面 少 。 夕。 · ， 丈 。 罐黯 一 省“ ‘ 廿 ’ 故有 川 ， 、 共 ￡ 令。 、 得 尸行 ，，一 再 由 ，的任意性 知 闭集 ， 一 。 对于 适度解 。 冲。 残‘ 是 不 可 达 的 定 义 ’ 一 常返 设 ’ ‘ 为某 个有界 或 无界 区域 ， 二 ’ ， 称过程 只。 为 ’ 常返 的 ， 如果 它是 正则 的 ， 且 。 哺 域 。 ‘ 一 定理 过程 人“ 是 ’ 一 常返 的 ， 如果 它是 正 则 的 存在 非负 函数 心 ， 议 ” ， ， 满足 引理 的条件 ， 且有 乙 ’ 。 ， ” ‘ “ 。 ， ” ‘ 心 。 ， 其 中 之 且 当 二 ” 、 卜 “ 一 ， 一 证 由引理 知 。 · 、 。 。 ， ·，。 、 · 。 。 ， 一 了 “ · 。 一。 ， 一 。 ·，。 ， 其 中· 、 。 一 。 。 ， ， 故有 ， 甲 仄 ‘ 一 “ 少。 ， 仄 妙 。 ， ‘ 妙 。 ， ， 而、 尸 、 ，· 甲‘ ·仄”，一。 。 ， 。 ， ， 因此 “一 ‘ · 从而 的 ， 即 ‘ 是 ’ 一 常返 的 随机稳定性定义和判定定理 定 义 称方程 的平凡解是 随机渐 近稳定 的 ， 如果 。 ， 。 ， 声 ” ， 的 ， 有 叶、 ， ‘ ，。 一 。 州神 ‘ ， 且 一 悠 ， ‘ ，。 一 。 随 机 指 数 稳 定 的 ， 如 果 ， 夕。 日 ， 。 ， 使 得 全 有 四一 ，。 二 · 、 。 · 夕。 一 一 稳定 的 ， 如果 占神 ‘ 驭 二 。 “ 。 ’ 一 ‘ 几 乎必 然 指 数稳 定 的 ， 如果 日 ， 上 的正 实值随机变量 函数 脚 ， 使得 。 ‘ ， 七 有 夕 夕。 ‘ 协 。 一 “ ‘ 定理 随机渐 近稳 定性 定理 设存在 函数 ‘ 。 ， ， ， 伽 ‘ 一 。 ， 夕 “ ，少‘ ， ￡ ， 气 伽 ， ， 则方程 的平凡解 是 随机渐 近稳定 的 少

Vol.20 No.1 张志刚：Hilbert空间上一类半线性随机发展方程的稳定性 ·97· 证令，=w;My引≤CYt,为过程y)关于集u,的首出时 设B={ωt,ω)=0}首先由文献[4]中命题3.6易知方程是随机稳定的，即r>0, mPW川>)=0：从而有mPB)=mP红，=0}=1.由条件2)并利用o公式 。+0 知v0(5y)是上鞅，据正上鞅收敛定理知，limv0y(y,)a.s.存在且有限. 令u,={七≥y川≥e}显然定理3的条件被满足，于是y(y,)关于集{y川0,36(e)>0,当lyl0, 使当n>Me)时有ly00+0)可知imly(sy,l=0a.s.于 B如若不然，则存在，使1iml(ty)l=a>0,则imv(y)=(a>0推出矛盾. 由于，M零测集)c{@:im(=0:故有 Pmwl=0}≥)imm=0 ≥limP(B,)=, y。+0 从而方程(1)的平凡解是随机渐近稳定的 定理5（随机指数稳定性定理）设存在满足下列条件的函数vEv:(I)(O)=0,且对某 c>0和单调增函数a(r(a(0)=0),有a(y）≤vy≤cy小(2)Lv0y≤-av0y),a≥0， yED(A,则方程(1)的平凡解是随机指数稳定的. 证由引理2知，E0(Gyw》-心，)≤。-aE(%》dr:由Gronwal-Bellman不等式可 得，Bv6》≤v0We"≤cle%再由上鞅不等式知，Psup0(sy》≥a(e)}≤ Ev0》/a(e)由于a(·)单调增且a(0)=0,故若y川>e,则a(y)>a(e)>0. 于是有≥d≤≥ao}sE0tW》/ae≤ag,e- 令ae.则有Pgpl1≥d≤e,e-只故方程u)的平凡解是随机指数稳定的. 定理6(p-稳定性定理)设存在函数vE':(I)ky≤0)≤飞ly,k,k≥0： (2)Ly≤0，y∈D(),则方程（①）的平凡解是p-稳定的. 证由引理2知UW》-0≤，〈，0w.G)d),EyW》≤U小 故 Ey)P≤(1k,)Ev0(y)≤(1k)0y)≤(k/k)y

卜奴 张志 刚 托 空 间上 一类半 线性 随机发展 方程 的稳定性 证 令 知 队 为过程 只。 关于集 的首 出时 设 气 一 协咖 一 司首先 由文献 中命题 易 知方 程是 随机稳定 的 ， 即 ， 黔跳州 ’ 一 ‘ 从而 有黔代助 一 脚 一 的 ’ 一 ‘ · 由条件 ‘ ’并 利 用 ’ 公 式 知 伽协 是 上鞍 ， 据正上鞍收敛定理 知 ， 伽怀 存 在且有 限 令 二 川 二 ￡ 显然 定理 的条件被 满 足 ， 于是 关于集 。 是 常返 的 由￡的任意性知 洲 ‘ 一 ” 于 “ 。 ， 据定理 “ 知集 伽 一 ” 是 不可 达 的 ， 于是 更有 悠 酣 刻 一 ” “ 补再 由 ， 的连 续 ‘ 性知 “ ” ， 日占旧 ， 当 ， 间时 ， 有 ， 。 ‘， 。 ￡而粤 “ 。 一 ” ‘ · 于 耳 。 ， 故 日“ 一 的 ， 使 得恤 “ 。 一 ” ， 即 “ 占 ￡ ” ， 使 当 时有 夕 ‘ 夕。 诊 ， 于是 妙 少。 。 ， 即 伽 夕。 又 因映 ， 。 ‘， 。 几 · 存 在于 代 ‘ 而 ， 一 ， ” 。 。 ‘ “ 可 知 塑 ‘， 。 一 ” · · 于 乓如若不然 ， 则存在 “ ， 使鳃 ，助 一 “ ” ， 则恤 以 一 ” 推 出矛盾 · 由于 气 零测集 臼 浊 夕。 一 。 ， 故有 。兜，， ，。 ，一 · 。 助 ， 黔 悠，， ，。 ，一 全 代 户 ， 夕。 伟 从而方程 的平凡解是 随机渐近稳定 的 定 理 随机指 数稳定性 定理 设存在 满足 下 列 条 件 的 函 数 ， ， 且 对某 。 和 单 调 增 函 数 恤 ， 有 ‘ ，妙 ‘ 。 白妙 ‘ 一 。 伽 ， 。 之 。 ， 厂班刃 ， 则方程 的平凡解是 随机指数稳定 的 证 由引理 知 ， 。 。 ，。 卜 · 。 。 丁一 。 一 ，。 由 一 】卜 · 二 不 等式可 得 ， 。 ‘ · 。 。 一 二 · ，。 一 再 由 上 鞍 不 等 式 知 ， · 。 一 。 二 · 二 以 间 由于 · 单调 增且 二 ， 故 若 回 。 ， 则 川 住 于 是 有 可 川， ， 、一 ￡飞 、 讨 一 、 ， 、一二 ￡、冬 二 。 ‘ 。， ， 、、 。 。 、 、 一二 一 。 、 ， ， 一 ’ 一 一 口 令牛 一 从￡ ， 则 有 可 沙 二 。 冬 从￡ 。 。 一 ， 故方 程 的平凡解 是 随机指 数稳定 的 一 ￡ 、 ’ 一 ‘ 】 ， ’ ’ 」 、 ， 一 。 · 、 ， ， · ， 一 ， 一 定 理 伽 一 稳定性 定理 设存在 函数吃 回 尹 ‘ 妙 ‘ 叼川 尹， ，， 气之 伽 ‘ ， ‘ 沟 ， 则 方程 的平凡解是 一 稳定 的 故 证 由引理 知 · 。 才 夕。 一。 ‘ 夕 夕。 尸 ‘ 庆 ， 夕。 ‘ 帐。 ，。 ， 妙 面 ， 肠 ，。 ‘ 伽 。 ， 砂 。 气 少。 尸

·98· 北京科技大学学报 1998年第1期 从而 w黑。EsWP≤，k/P≤少，i四w2EWP=0 a-0,ls,20 即方程(1)的平凡解是P-稳定的. 定理7（几乎必然指数稳定性定理）设存在满足下列条件的函数vE。: (I)kyP≤0y)≤klyP,k,k≥0；(2)L0y)≤-飞y),k>0,则方程(1)的平凡解是几乎必 然指数稳定的. 证令u,)=y)e,0<a≤k则有 L'u(v,()av(v)e+[L'v(v)Je"=av()e"+e"Lv(v)s av(v)e"-kv(v)e"s 于是，由引理1知0y(5y。),)为正上鞅，故1imu0(y),)as.存在且有限，由上鞅不等式 Pis8u(5yW)之川≤40,0)/n=0n,从而当n-oo时， PP0sW.)<0}=1:于是YL正实值随机变量u(W小)=AW<oas. 即e"v0y》≤A0yo)as.于是ly(t yo)P≤(1Ik)0(y》≤(4y)1k)e-"a.s.； ly(tsy)/ke=k)e-a.s. 即方程(1)的平凡解是几乎必然指数稳定的. 参考文献 1 Ichikawa A.Semilinear Stochastic Evolution Equations:Boundedness,Stabitity and Invariant Meas- sures.Stochastic,1984,12:1 2 Ichikawa A.Stability of Semilinear Stochastic Evolution Equations.J Math Anal Appl,1982,90:12 3胡宣达.半线性随机发展方程的稳定性.南京大学学报，1988,3(1)：57 4胡宣达.Hi1bet空间中随机微分系统稳定性理论的进展.高校应用数学学报，1986,3(1)：57 5 Curtain R F.Falb P L.Ito's Lemma in Infinite Dimensions.J Math Anal Appl,1970,31:434 6张健，秦明达.一类连续半鞅型随机微分方程解的随机稳定性.数学学报，1995,38(6)：776 Stability of A Class of Semilinear Stochastic Evolution Equations on Hilbert Space Zhang Zhigang Oinh Mingda Applied Science School,UST Beijing.Beijing 100083,ChinaAB STRACT Discusses the stability of semilinar stochastic evolution equations on Hilbert space dyr)=[A)+f(Y))]dt+G())do().At first,in order to study stochastic asymp-- totically stability,some concepts for mild-solution,,and the sufficiently conditions for this stability are obtained.Secondly,some new concepts of stability are defined.The main results make the finite dimensions extention and Ichika'results development. KEY WORD semilinear stochastic evolution equation;mild solution;Lyapunov method

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 从而 、 迄嗯只 。 “ “ 。 ’ ‘ 之恐 气 。 ’ ‘ 气 占 ’ ， 兽 、 龚只 。 “ 。 尹 一 ” ， 即方程 的平 凡解是 一 稳定 的 定 理 几乎 必 然 指 数稳 定性 定 理 设存在满足 下 列 条件 的 函数 ‘ 。 夕 夕 ‘ 妙 ‘ 气夕 ” ， ，， 气七 伽 一 气 妙 ， 气 ， 则 方 程 的平凡解是 ’ 乎必 然指 数稳 定 的 证 令 砂 ， 一 妙 ， ‘ 气则 有 乙 ’ 。 砂 ， 一 。 “ ‘ 【 乙 ’ 伽 」 “ ‘ 一 。 “ ‘ “ ‘彻妙 ‘ 。 “ ‘ 一 凡 。 “ ‘ 于是 ， 由引理 知 妙怀 ， 为正 上鞍 ， 故 伽协 ， 存在且 有 限 ， 由上 鞍不 等式 ， 鹭 · 。 ， ，。 ， · 、 · 。 。 一 。 。 一 从而 当 一二 时 ， 瞥、 ， 的 一 ‘ 于 是 ，让正 实值 随机 变量 、 “ 、 脑 。 一 、 的 即 ‘ 伽 夕。 三 妙 。 于 是 夕 夕。 尸 ‘ ， 夕。 ‘ 月砂 。 气 一 “ 。 ‘ 心 。 子 加 一 万‘ 一 抑 。 。 一 、 即方程 的平凡解是 几乎必 然指数稳定 的 参 考 文 献 扬 而 ， ， ， 而 ， ， 胡宣 达 半 线性 随机发展方程 的稳定性 南京 大学学报 ， ， 胡宣 达 场 空 间 中随机微分系 统稳定性理论 的进展 高校 应用数学学报 ， ， ， 玫 以 ， ， 张健 ， 秦 明达一类连续半鞍型 随机微分方程解 的随机稳定性 数学学报 ， ， 助 及 树 ” ， ， ， 而 托 双 玫 双 玫 面 ， 卜 ， 一 ， ， 面 ， ’