λ型铰链四杆近似直线机构综合解析法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1999.01.021 第21卷第1期 北京科技大学学报 Vol.21 No.1 1999年2月 Journal of University of Science and Tecbnlogy Beijing Feb.1999 λ型铰链四杆近似直线机构综合解析法 韩建友 赵慧设 北京科技大学机械工程学院，北京100083 摘要给出了一种综合入型铰链四杆近似直线机构的新方法一位移矩阵法，推导出了综合公 式，并列举综合示例验证了公式的正确性. 关键词四杆机构，直线，综合 分类号TH113.22 铰链四杆近似直线机构的综合理论与方法 Ciy Cu Cw 一直被人们所关注.文献[1]给出了一种近似直线 机构的几何综合方法.该种机构为3对一阶密切 [C]= CaU Ca C (1) 的直线机构，综合出的机构生成的连杆曲线可以 Ca Ca Cay」 为对称曲线，也可以为非对称曲线.对非对称情 式中： Cuy=cos 0 C=-sin 0u 况文献[1]未提及.该种机构的特点为，在初始的 C1gy=为-xcos9y+ysin8y· 直线点，连杆处于瞬时平动位置；外形似1形，故 Ca=sin 0C=cos 称λ形机构.文献[1]应用经典的转动极四边形几 Cy=y-xsin 0-y cos 何理论，给出了综合该种机构的方法；并应用位 Cy=0,C=0,C=1. 移矩阵理论，给出了此种机构综合的解析方法， 设该待求的圆心与圆点的矢量分别为a。= 1综合公式推导 [oy,,a。=xy,第j个位置时圆点位置矢量 为ag=x,y,J则有： 假设连杆上的点通过以下给定直线上的3个 有限分离位置点y)Py,P,y,且 -a] (2) PP2=PP在该三点处的速度方向相同，这样 就可以获得有限分离和无限接近相组合形式的 约束方程为： 直线，即PP,-PP:-PP形式的直线.如果经 lay-adl'lag-ag]la,-adl ta.-a,l (3) 过P,点时，两连架杆平行，都垂直于给定直线的 把式(2)代人式(3)，经整理得 方向，则第1位置的速度方向就能够保证，再假设 An(xoxc +yov)+A(oxo-xoy)+Agxo+Ao+ 所综合的连杆曲线为对称曲线，那么只需控制第 A sxe+Ar+An=0 (4) 3点的速度方向，就可得到所要求的近似直线。 式中：4=1-Cw42=C4n=-CyA 综合此种机构待求的量为两连架杆的固定 =-C245=CC+CC246=C12C+ 回转中心A,。y。)(称为圆心)和与连杆的铰接点 CwC4n=(C+C)120=2,3). A(xy)(称为圆点).下面给出经过3个分离点的 下面介绍n阶位移矩阵[C侧]及n阶转动矩 2个方程和第3位置时的无限接近位置方程， 阵[R],由文献[4]知，对于任意矢量a及其n阶 对于分离点位置，连杆相对于第1位置的转 导数矢量侣有 角8,0=2,3)可以求出（相当于给定），则从位置 1到位置j的位移矩阵[C为： []-cl] (5) 1998-03-25收稿韩建友男，42岁，副教授，博士 式中C]= ·国家教委留学回国人员科研基金资助项日 g] 0

第2 卷 1 年 1 9 9 9 第 期 1 2 月 北 京 科 技 大 学 学 报 u l o o f n n i a r J U v s r e t i y o f S e i n n a e e e d T e e h n l o g y B e j i g n i 1 V 0 . 2 1 F e b - N 0 . 1 1 9 9 9 又型铰链四 杆近似直线机构综合解析法 韩建友 赵慧设 北京科技大学机械工程学 院 , 北京 10 0 83 摘 要 给 出了 一 种综 合又型 铰链 四 杆近 似直 线机构的新方法— 位移 矩阵法 , 推 导出了综合公 式 , 并列举 综合示 例验证了 公式的正 确性 . 关键 词 四 杆机构 , 直线 , 综合 分类号 T H 1 1 3 . 2 2 铰链 四 杆 近似 直 线 机 构 的综 合 理 论 与方 法 一直 被人们所 关 注 . 文 献 【1 给 出 了一种 近似 直线 机构 的 几何综 合 方 法 . 该 种 机 构为 3 对 一 阶密 切 的直 线机 构 , 综 合出 的机 构生成 的 连杆 曲线 可 以 为 对称曲 线 , 也 可 以 为 非 对 称 曲线 . 对非 对称 情 况 文献 【l] 未 提及 . 该 种 机 构 的特 点 为 , 在 初 始 的 直 线 点 , 连 杆 处 于 瞬 时 平 动 位 置 ; 外 形 似几形 , 故 称又形机 构 . 文 献 〔l] 应 用 经 典 的转 动极 四 边 形 几 何 理 论 , 给 出 了综 合 该 种 机 构 的 方 法 ; 并 应 用 位 移矩 阵理 论 , 给 出了此 种机 构综 合的 解析 方法 . { C l · C `· c l · 1 C[] 。 一 }气 气 气 } `l) Lq 。 q 、 q , 」 1 综合公式推导 假设 连 杆上 的点 通 过 以 下 给定直 线 上 的 3个 有限分 离位置 点尸 ; x( , , y , ) , 几x( 2 , 凡) , 凡(x 3 , y3 ) , 且 尸六 = 尸尹 3 , 在 该 三 点处 的 速度 方 向相 同 , 这样 就 可 以 获得 有 限分 离和 无 限接 近相 组合 形式 的 直线 , 即 尸 1尸 , 一 凡汽 、 一 凡凡 形 式 的 直线 . 如 果 经 过 尸, 点 时 , 两 连架 杆 平 行 , 都 垂直 于 给 定 直 线 的 方 向 , 则 第 1位 置 的速度 方 向就能 够保 证 , 再 假设 所综合的连杆 曲线 为对称 曲线 , 那 么 只需 控 制第 3 点 的速度 方 向 , 就可得 到 所要求的近 似直 线 . 综 合此种 机 构 待求 的 量 为 两连 架 杆 的 固定 回 转 中心 成x(0 , y0 )( 称为 圆心 ) 和 与连杆 的铰 接点 cA xc( , cy) ( 称 为圆点 ) . 下 面给 出经 过 3 个分 离点 的 2 个方 程和第 3 位 置 时的无 限接 近位 置方程 . 对于 分 离点 位 置 , 连杆 相 对于 第 l 位置 的转 角 0 1) 仃一 么 3) 可 以 求 出 ( 相 当于给 定 ), 则从位 置 1到位 置 j 的位 移矩 阵 〔C] 川 为 : 式 中 : C : 。 = c o s o lj , C I 、 = 一 s i n o 。 , C l , = xj 一 x , c o s o lj + 夕l s i n e lj , q 。 = s i n o 。 , q 、 一 c o s o 。 , q , 一 y, 一 x l s i n o 。 一 夕, c o s 口lj , q 。 二 0, q jZ = ,0 q 3) = L 设 该 待求 的圆 心 与 圆点 的矢 量 分别 为 a 。 = x0[ , 习 T , a 。 = cx[ , 刀 T , 第 j 个 位置 时 圆点位 置矢量 为可 一 cx[, , ’yc 〕 · 则有 12 , 31 : 日 一 c[] 。 日 ( 2 ) 约束 方程 为 : [ a cj 一 a 。 ] T [ a ’c 一 a 。 ] 一 [ a 。 一 a 。 ] T [ a 。 一 a 。 ] ( 3 ) 把式 (2 )代 人式 (3 ) , 经整 理得 毛x(0 · + 犁c) + 今妙x0 一 x 声) + 今x0 + 月夕 。 十 凡产 · + 孔岁 ` + 今 = 0 (4 ) 式 中 : jA , 一 1 一 c ; 。 , 斗 一 c ljZ , 今 - 一 c l、 , 今 = 一 q , , 凡 , 二 c ; 。 C I、 + q 1j q ’lj 寿 二 q jZ q , + q jZ q 、 , 今 一 (气 十 吃 ) 2/ 。 一 2 , 3) . 下 面介 绍 n 阶位 移 矩 阵 汇C 间 ]及 n 阶转 动 矩 阵 [(R 勺 , 由文 献 [4] 知 , 对于 任意 矢量 a 及 其 n 阶 导数矢 量繁有 }誉〕 一 〔。 一 l }了} 。 ) 19 9 8 一 0 3 一 2 5 收稿 韩建友 男 , 42 岁 , 副教授 , 博士 中 国 家教委 留学 回 国人 员科研 基金资助项 目 式 中:[ 口勺 = ! _ _ 、 _ 竺 , _ , _ 、 , 。 R[ L“ , J LP 』一 IR 四』IP 」 } DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1999. 01. 021

VoL21 No.1 韩建友等：1型铰链四杆直线机构综合解析法 ·73· 当n=1时，[C]为位移速度矩阵，n=2 时，【C2]为位移加速度矩阵，等等. 为方便计算，给出位移速度矩阵，由文献[4] 可知： P2 [R]=[[R]T (6) a g3 cos 0 -sin 式中 [R]= sin 0 cos0 (7) 90 为转动矩阵；[R]为转动矩阵中的各个元素对时 间求导数后所得到的矩阵，即 图1坐标系的选择 -sin6 -cos00 [风= cos06 -sin0 (8) A(x+yay)+A20y。-y)x+(43+As)。+ 于是有 A6.+A2=00=2,3,4)(14) 以上3个方程只有3个未知数，解此方程即 -[8] (9) 可确定圆心和圆点.下面给出解此方程组的过 程.令m,=A2/An,=(Mn+A)1A 「0-0元1+y P=A6/Aa9=A71A1(i=2,3,4) [C]= 60y-x (10) 则式(14)可写成 00 0 x+yo.+m,0。-x+n+p.+9,=0(15) 对于所要综合的机构，只用到位移速度矩阵，即 继续化简 MoY+(P32-Mxy.+N3。+2=0(16) -] (11) M4xY+(P2-M4oy+N4zr。+22=0(1T) 式中： 把约束方程(3)两边对时间求导数，并考虑到 My=m-m,·Py=P,一P,Ng=n,-n,=9,9 曲柄长度的变化率为零，就得到新的约束方程： 从式(16)，(17)中解出y。y.得： La [lag-a=0 (12) SxG+T。+USx。+V y0= 一，y= 把式(11)代入式(12)，经整理可得 Rx。 R (18) As(xoxe yoo)+As2Vyoxe xoy)+Aaxo+Auo+ 式中： A45。+A6y:+A7=0 (13) R=MP2-MaP32 S=N3M2 -NM2 式中各系数写出如下： T=2M PaNn-CM NaP A4=C8C21=-01,sin9g U=2uPs2-2Pa V=Mes2-MQ A=CaCu=03cos 3 把式(18)代入式(15)的第1式得 An=C8C3+C9=-6,0y,-xsin6,- ax+bx6+cx。+d=0 (19) ycos01)+(+81y) 式中a=1+S2/R2, Au=CC+=(xcos+ysin 0) 6=T+n+m,(T-n, +0,-8x R2 R *%*四 R Aas=-C Cu-C Ca=-(+)cos 0u- c=S+严+pnU ,-01xsin日1' R2 RmR+gd-Up R2· A6=-C8C2-C9Cz=-6+6,y,sin63- 如图1所示，给定A(y1)因所综合为对 03-日1xJc0s613' 称连杆曲线，故有，Ao4,=AAoA与P,的 A,=-CgC3-C8C,-(6+0y3-xcos0,+ x坐标相等，即xo1=x。=x2由此可先选定o1 y,sin01)-0y,-61,0y,-xsin61,-ycos81,) (或p)就可得到不同的直线机构 取如图1所示坐标系知x。=x,A4=0(=2,3,4) 设x,是方程(19)的1个解，则有： 于是方程(4)和(13)就简化成如下方程： (xo-xo1)(ao+b o+c)=0

V o L Z I N O . l 韩建友等 : 又型铰链 四 杆直线机构综合解 析法 当 n = l 时 , [d l)] 为 位 移 速 度 矩 阵 , n = 2 时 , 【C (2) l为位移 加速 度矩 阵 , 等等 . 由文献 [4] 、产., 产 67 了、.、 为 方 便计算 , 给 出位 移 速 度 矩 阵 , 可知 : R[ ` , , ] = 区] R[ ] T 式 中 R[] 一 {默 一 S in o e o S O 」 为转动 矩 阵 ; 匡 ]为 转 动 矩 阵中 的各 个元 素对时 间求导数后 所得 到 的矩 阵 , 即 图 1 坐标系的选择 匡〕 一 [ 一 s in 0 0 e o s s口 (8 ) 于是有 二黯 } 一 龟] ( 9 ) 一 。 戈, + 御 1 0 夕 l 一 0x , 0 0 ( 10 ) 凡 : :(x + y0 劝 + 今 饥 一 cy) xo + 吟 + 今)x0 + 么关 + 今 = 0 仃一 2 , 3 , 4 ) ( 14 ) 以上 3 个方 程 只有 3 个未 知数 , 解 此方 程 即 可 确 定 圆心 和 圆点 . 下 面 给 出 解 此 方 程 组 的 过 程 . 令 m ` = A 。 / A , , , n ` = (A 。 + A , 5 ) / A ` , iP = A ` / A ` , , 叮` = A 。 / A ` , ( i = 2 , 3 , 4 ) 则 式 ( 14) 可 写成 哺+ 夕岁 ` + m 玩 一 又) 叉。 + n xot + 尸,共 + 。 , = 0 ( 1 5 ) 继 续化 简 城产夕 。 + (3P : 一 从丙 y) 。 + 从x2 。 + Q 32 = 0 ( 16 ) 城产尹 。 + (几 2 一 从x20 y) 。 + 戈x20 + Q 4 2 = o ( 17 ) 式 中 : 气 = m `一 乓 , 凡 二八 一马 , 戈 二 in 一 n’, 乌 二 iq 一 .qj 从式 ( 1 6 ) , ( 17 ) 中解 出凡 , 关 得 : ó U 。口n r. .L R[ 一 } nU 。 80 ..esrwe L 口 一 对于所要 综 合的机 构 , 只用到 位移 速度 矩阵 , 即 「一 下 「一 1 { “ ; } 一 〔d ” , l “ ; { (“ , 把约 束方 程 (3) 两边 对 时 间求 导数 , 并 考 虑到 曲柄 长度 的变化率为零 , 就得 到 新 的约束方程 : kj[] ’ 〔可 一 动 一 ” ( 12 ) ( 18 ) 把式 ( 1 )代人 式 ( 12) , 经整 理可 得 A ; :价产 ` + 犁p + A 4 2妙产 e 一 x闪 + A 4 3 x0 + A矶 + :sx + 氏 十 U sxo + 犷 y0 一 毯 ’ yc 一 R A 一 xc5 + Ay46 。 + A ; 7 = 0 式 中各系数写 出如下 : ( 13 ) 一 《 梦q , 一 户 , 3 5访 。 , 3 , = 《 } , C , L = 右 , 3 e o s e : 3 , 式 中 : R 二 从 2凡 : 一 从六 2 , S = 从从 : 一 从从 2 , T = Q 32M { : 一 几入 : 一 么 2城 : + 从 2尸3 2 , U = 鸟六 : 一 乌六 2 , V = 城 2乌 : 一 城 2么 2 · 把 式 ( 18) 代人 式 ( 15) 的第 l 式得 《 梦q , + 《 梦一 0 , 3妙 , 一 x , s i n o , 。 - :ax + 城 + cx0 + d = 0 式 中 a = l + 梦 / 天2 , ( 19 ) 4423 AA 一V 2 份一R 二一;UR 二 P一一J 少l e o s 8 13 ) + 以3 + 8 ,少3 ) 、 , 一 以犷q , + 悦梦 一 d ; 3 (x , 一 x , e o s o ; , + , ; s i n o , , ) + 忱 一 8 1 3x 3 ) , A 4 , 一 一 《 梦C , , 一 心 q , 一 以, + J I夕3 ) e o s o : , - 忱 一 0 ,产3 ) S i n 0 1 3 , A 46 = 一 以梦c l Z 一 晓梦q Z = 一 认 + 氏仍)s in 8 1 , - 忱 一 口,凡) c o s 口 , 3 , , 4 7一《 梦c , 3一 以梦q 3一休 + 户 ;少3 ) (x , 一 x l e o s o , , + 夕, s in o ; 3 ) 一 认 一 0 , 3x 3 )砂 3 一 x : s i n o ; 3一夕, c o s 0 13 ) 取如 图 l 所示坐 标系 知x0 一 cx, 今 一 0仃一 ,2 3 , 4) 于是 方程 (4) 和 ( 13) 就简 化成如 下方 程 : (S T 十 均 R 2 m Z ( T 一 均 + — R + n Z + 之人夕+ T V C = — R ` P Z 犷 十 — U + m 俪 + q Z , d 如 图 l 所 示 , 给 定丸 : x(0 l , y0 , ), 因所 综合 为对 称 连 杆 曲线 , 故有 , 凡 l凡 ; = 人尹 , , 丸 , , 次 , 与尸2 的 : 坐 标 相 等 , 即 x0 , 一 cx , 一 气 , 由此 可先 选 定 y0 ; (或八) 就可 得到 不 同的直 线机 构 设 x0 ; 是 方程 ( 19 ) 的 1 个解 , 则有 : x(0 一 x0 : ) ( a ,亏+ b , x0 + c ; ) = 0

·74· 北京科技大学学报 1999年第1期 式中：a1=a,b,=a1'C1=b1+c 示.其中与曲线1对应的机构为A,AB,BP,与 于是就可得到另外2个圆心点的x坐标： 曲线2对应的机构为A。AB2B。P与曲线3对应 -b,±6-4a,c1 的机构为BoB.BoBP.曲线1,2为对称曲线，曲 x02.3= 线3为非对称曲线. 2a 相应的y。和.的2个解可由式(18)求出， 例2p。=15°，综合所得机构如图26)所示. 例3，p。=60°综合所得机构如图2(c)所示. 2综合实例 由综合过程可见，本文所给综合方法简单实 用，不需要掌握繁难的几何理论，综合结果证明， 设P=(0,0),P=(20,0),F=(40,0),给 所给公式是正确的. 定po则y1=-x2/go,=-x2/g2p0 参考文献 I=IP Ag!=lAoAel ye -yor' 则有，a,=arcsin(0a/),a2=arcsin0yo1/2), I Dijksman'E A,Smails A T J M.A-formed 4-bar Link a,=-π/2：连杆相对其第1位置的转角为0。 ages Set in a Translation-position to Design Mech- =a2-a18y=a3-a1 nisms Approximating a Straight Line,Mech.Mach. 第3位置的瞬心在通过P,点的竖直线上，且 Theory.1996,31(8):1033~1042 其y坐标y。=-,任取0，则元=6yp 2韩建友.布氏点的解析求法.东北重型机械学院学报， 1988,12(1):54-60 给定不同的p。,并将6288元y,=0代入 3韩建友.“点一阶”五位置问题的一种解法.东北重型机 方程(1)~(19)求解，就可得到各种不同的机 械学院学报，1990,14(3)：39~46 构.下面给出几个例子， 4CH苏，CW拉德克利夫著.上海交通大学机械原理 例1.p。=7°，综合所得机构如图2(a)所 及机械零件教研室译.运动学与机构设计，北京：机械 工业出版社，1983 (a) (b) (c) B Ba B01 图2 综合所得机构图(ap=7°，bn=15°，(c9-60 Analysis Method of Synthesis of A-formed 4-bar Linkages Approximating a Straight Line Han Jianyou,Zhao Huishe Mechanical Engineering school.UST Beijing,Beijing 100083.china ABSTRACT Presents a new synthesis method (displacement matrix method)to A-formed 4-bar link- ages which coupler has a approximating straight line.With this method,it is easy to synthesize the expected linkages,and some synthesizing formulae are derived and a few examples are given. KEY WORDS four-bar linkage;straight line;synthesis

北 京 科 技 大 学 学 报 19 , 年 第 l期 式 电 a ; = a , b : = a , x0 : , c , = b , x 。 , + c 于是就 可 得到 另外 2 个 圆 心点 的 x 坐标 : 一 b ; 士 办卜 a4 clj x o Z , 3 一 2 a l 相 应 的 y0 和 夕 。 的 2 个 解 可 由式—( 18) 求 出 . 2 综合实例 设万 一 ( o , o ) , 月 一 (2 0 , o ) , 冗 一 ( 4 0 , o ) , 给 定汽 , 则 y0 : = 一 凡 八g八 , cy ; 二 一 乓 / gt Z沪。 · 设 l 二 }尸 l凡 , ! 一 }凡 l次 , } 一 cy L 一 y0 1 , 则 有 , a , = aer s i n 认 , / O , a Z = a r e s i n 饥 L / 2 0 , a 。 一 一 二 2/ ; 连 杆 相 对 其 第 l 位 置 的转 角 为氏 = a Z 一 a z , 8 ; 3 = 仪 3 一 a z · 第 3 位 置 的瞬 心在 通过 凡 点 的竖 直线 上 , 且 其 少 坐标少 尸 一 l , 任取氏 3 , 则、 , 一 氏办 . 给定 不 同的沪 。 , 并 将。 12 , 。 : 3 , 百 , 3 , 、 3 , 丸 一 。代人 方 程 ( 1 ) 一 ( 19 ) 求 解 , 就 可 得 到 各 种 不 同 的 机 构 . 下 面给 出几 个例 子 . 例 1 . 沪 。 二 7o , 综 合 所 得 机 构 如 图 2 a( ) 所 示 . 其 中与 曲线 1 对应 的 机构为 A产几 1筑 : 只 , 与 曲线 2 对应 的机构 为 A 。 A 。 凡 Z B cZ 尸, 与 曲线 3 对应 的机 构为 风 l典 ,风 2凡 2尸 , . 曲线 1 , 2 为 对称 曲线 , 曲 线 3 为非对称曲线 . 例 2 · 沪 。 = 15 “ , 综合 所得机构 如 图 2 (b) 所示 . 例 3 . 尹 。 = 6 0 综合 所得机 构如 图 2 ( c) 所 示 . 由综 合过程 可 见 , 本文 所 给综合方法 简单实 用 , 不需 要 掌 握繁 难 的几 何 理论 , 综合结 果证 明 , 所给公 式 是正 确 的 . 参 考 文 献 1 D ij ks m a n · E A , Sm a i l s A T J M . 又一 of rm e d 4一 b ar L ink a g e s S e t i n a T ar n s l a t i o n 一 P o s i t i o n ot D e s ig n M e e h - n i s m s AP Por x 而a t in g a S atr ig h t L i n e , M e e h . M a e h . T h e o yr . 1 9 9 6 , 3 1( 8 ) : 1 0 3 3 一 1 0 4 2 2 韩 建友 . 布 氏 点的解 析求法 . 东 北重 型 机械 学 院学报 , 1 9 8 8 , 12 ( l ) : 5 4 ~ 6 0 3 韩建友 . “ 点一阶 ” 五 位置问题 的一种解法 . 东北重型机 械学院学报 , 19 9 0 , 14 ( 3 ) : 3 9一 4 6 4 c H 苏 , c w 拉 德克利 夫著 . 上 海交通大学 机械原理 及机械零 件教研 室译 . 运 动学 与 机构设 计 . 北 京 : 机 械 工业 出版社 , 1 9 8 3 (a) P l l 0cBz 图2 综合所得机构图(a 冲 。 = 7o , 伪脑 = 15 “ , (c 脑 =6 0o A n a ly s i s M e t h o d o f S y n t h e s i s o f 又 一 fo mr e d 4 一 b ar L ink a g e s A P P r o x im a t i n g a S tr a i g h t L i n e 产勿 n iJ a ny o u , hZ a o H 比is h e M e e h an i e a l E n g in e e r i n g s e h o o l , U S T B e ij i n g , B e ij in g 1 0 00 8 3 , e h i n a A B S T R A C T Pre s e n t s a n e w s yn t h e s i s m e t h o d ( d i s P l a e e m e n t m a t ir x m e ht o d ) t o 又 一 fo rm e d 4 一 b ar 11 n k ~ a g e s w h i e h e o uP l e r h a s a ap P r o x im a t i n g s tr a i g h t li n e . W iht ht i s m e ht o d , it 1 5 e as y t o s y n ht e s说e ht e e xP e e t e d li n k a g e s , an d s o m e s yn ht e s i z i n g fo mr u l a e ar e d e ir v e d an d a fe w e x a m P l e s ar e g i v e n . K E Y W O R D S fo u -r b ar link a g e : s tr a i g h t li n e ; s y n ht e s i s