控制算法鲁棒性的通用量化方法

D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1995.0M.013 第17卷第4期 北京科技大学学报 Vol.17 No.4 19958Journal of University of Science and Technology Beijing Ag.1995 控制算法鲁棒性的通用量化方法 郑秋宝舒迪前 北京科技大学自动化信息工程学院，北京100083 摘要针对各类控制算法在鲁棒性分析上存在的“不可比”性，提出了一种通用的控制算法鲁棒 性量化指标，并借此对两种模型算法控制(MAC)算法一基本MAC和增量型MAC的鲁棒性进 行了量化分析，得到了与仿真研究和实际控制相一致的结果. 关键词鲁棒性，系统分析，量化/模型算法控制 中图分类号TP13,O231 General Quantitative Method for The Analysis of Robustness of Control Algorithms Zheng Qiubao Shu Diqian Colloge of Automation and Information Engineering.USTB.Beijing 100083,PRC ABSTRACT Because of the difference of simulation method and theoretical analysis measure,the analysis results of control algorithms,which pulished on references,are incomparable.In order to eliminate the "incomparability",a general quantitative criterion for the analysis of robustness of control algorithms is presented,and the robustnesses of two kinds of Model Algorithmic Control(MAC)algorithms-Basic MAC and Incremental MAC are analyzed by this way.The results show that the quantitative cri- terion is compatible with the results of their simulations and real-time applications,and it is suitable for the theoretical research of most of control algorithms. KYE WORDS robustness,system analysis,quantitative /model algorithmic control 近年来，出于实际应用的需要，控制算法的鲁棒性已引起人们的广泛注意，并且国内外 许多学者提出了一系列鲁棒性良好的控制算法，但是，由于各种算法的差异，其分析和评估 方法不一样，从而造成了各类算法之间没有统一衡量指标的局面，使之缺乏“可比性”·此 外，大多数控制算法的鲁棒性研究目前还主要停留在“定性分析”上，常常需借助特定环境 下的仿真结果来评价其性能的好坏，因此，定义一个通用的鲁棒性指标是非常必要的.本文 针对这个问题就控制算法鲁棒性的量化指标进行讨论，并以两种模型算法控制算法的鲁棒性 分析为例，阐述了文中所提鲁棒性指标的可行性· 1鲁棒性量化指标的定义 1995-03-15收稿 第一作者男28岁硕士副教授

第 17 卷 第4 期 北 京 科 技 大 学 学 报 】, 巧 年 8 月 oJ u r n a l o f U in v e IS iyt o f S a e n c e a dn eT ct m o of gy eB ij in g V d 。 17 A雌 N心 。 4 1望巧 控 制算 法鲁棒性 的通 用量 化方法 郑秋宝 舒迪前 北京科 技大 学 自动化信息工程学 院 , 北京 1〕 ) 刃3 摘要 针对各类 控制算法在鲁棒 性分 析上存在 的 “ 不可 比 ” 性 , 提 出了一种通用 的控制算 法鲁棒 性量 化指标 , 并 借此对两种模型算法控制 (M A C ) 算法 一 基本 M A C 和增量型 M A C 的鲁棒性进 行了 量化分析 , 得到了 与 仿真研究 和实际控制相一致 的结果 . 关健 词 鲁棒性 , 系 统分析 , 量化 /模 型算法控 制 中圈分类号 开13 , 0 23 1 C记ne ra l Qua int ta it ve M e t h o d fo r T h e A 卫a l ys is o f R o bus t . 器 5 o f C o n t r o l lA go ir t hi ns hZ en g Qiu b ao hS u D 匈边n 伪lo ge of nA to IT 以t lon an d 】n fo ~ ito n E n 颐 ~ ng , sU 珊 , 氏劝lng 〕 】犯3 . P R C A B S T R A C T B e ca u s e o f t h e d i fe re n e o f s im u l a t i o n me t h o d a n d t h e o r e t ica l a n a l y s i s me a s u r e , t h e a n a l y s i s esr u lt s o f e o n t r o l a lg o r it h nsr , w h i c h P u li s h e d o n r e fe r e n ces , a r e i n c o m P a r a b l e . I n o r d e r t o e li而n a t e t h e “ i n e o m P a r a b ilit y 气a g e n e r a l q u a n t it a t i v e e r i t e ir o n fo r t h e a n a l y s i s o f r o b u s t n es s o f e o n t r o l a l g o r it h nsr 1 5 P r e sen t e d , a n d t h e r o b u s t n es s es o f t w o k i n d s o f M o d e l lA g o r it h 而e C o n t r o l (M A C ) a l g o r it h ms 一 B a s i e M A C a n d I n c r e me n t a l M A C a r e a n a l y z e d b y t h i s w a y . T h e r es u lt s s h o w t h a t t h e q u a n t it a t i v e icr · t e r i o n 1 5 e o m P a t ib l e w it h t h e r es u l t s o f t h e ir s im u l a t i o ns a n d r e a l 一 t ime a P P lica t i o ns , a n d it 1 5 s u i t a b l e fo r t h e t h e o r e t ica l r e s e a r c h o f m o s t o f co n t r o l a l g o r it h ms . K Y E W O吸 D S r o b u s t n e s s , s y s t e m a n a l y s i s , q u a n t it a t i v e / mo d el a gl o ir t h n 五e co n 加l 近年来 , 出于 实 际应 用 的需要 , 控制算法 的鲁 棒性 已 引起人 们的广泛注 意 , 并且 国 内外 许多 学者提 出了一 系列 鲁棒性 良好 的控 制算 法 . 但是 , 由于 各种 算 法 的差 异 , 其分析和 评估 方法 不一样 , 从而 造成 了各类算法 之 间没有 统 一衡 量指 标的局 面 , 使 之 缺乏 “ 可 比 性 ” . 此 外 , 大多数控 制算法 的鲁棒性 研究 目前 还 主要停 留在 “ 定性 分析 ” 上 , 常常需 借助 特定 环境 下 的仿真结 果 来评价其性 能 的好坏 . 因此 , 定 义一 个通 用 的鲁棒性指 标是 非 常必要 的 . 本文 针对这个 问题就控 制算法 鲁棒性 的量化 指 标进 行讨论 , 并 以 两种 模型算法 控制 算法 的鲁 棒性 分析 为例 , 阐述 了文 中所提 鲁 棒性 指标 的 可行性 . 1 鲁棒性量化 指标的定义 1卯5 一 03 一 15 收稿 第一 作者 男 28 岁 硕士 副教授 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1995. 04. 013

·372 北京科技大学学报 1995年No.4 控制算法的鲁棒性是指当被控对象的特性发生变化时，如系统成分的忽略，大的参数变 化，阶次和时延发生迁移等情况下，控制算法对系统稳定性的保持能力和对期望输出的跟踪 能力，因而，考虑一个算法的鲁棒性应从如下3个方面着手：(1)系统本身的稳定性；(2) 系统的静差；(3)结构变化时系统的稳定性·若仅考虑线性系统，上述第3方面还可具 体描述为：(1)阶次变化时系统的稳定性；(2)被控对象模型参数剧变时系统的稳定性； (3)时延变化时系统的稳定性， 根据上述5个方面的要求，鲁棒性量化指标不仅要反映系统的静态响应质量，而且要考 虑其动态性能，如跟踪速度、超调量等.为此，可以给出它的定义形式如下： R=- s{,l。 (1) if (y,y.ol/M(0)N(0) 式中日、A分别表示控制算法的可调参数和可调参数域；d、?分别表示系统模型失配系数 (阵)及相应的参数域(d为单位阵时，表示不存在模型失配)；M(旧)表示系统稳定裕度对 鲁棒性指标R的修正因子，且有： M(9)=P(0)G(0)/(1+P(8)G(8川。-g (0≤M(0)≤1) (2) G(0),PO)分别表示系统模型不失配时的幅值裕度和相位裕度(0*表示最优参数)；N,(0) 表示系统噪声对鲁棒性指标R的影响系数，且有： N。(0)=Var(5)/Vary) (0≤N(0)≤1) (3) 上式中分子、分母分别表示系统噪声方差和输出方差；y,y,分别表示系统输出均值和期望 输出均值；‖y,另，。表示y与少，的加权范数（加权阵为Q),其一般形式如下： 17元。-250-元0饿 (4) 由(1)式可知，0≤R≤1.R越大，控制算法的鲁棒性越强.此外，式中各参数项的物理含义为： (I)‖y,,‖。不仅反映系统的静态特性（静差），而且反映本身的稳定性·此外，它 还能描述系统的瞬态特性，若超调量越大或响应速度越慢，则‖y,以‖。越大，R越 小，即鲁棒性越弱， (2)M()反映系统的稳定裕度.只要幅值裕度和相位裕度二者中有一个较小则M(0) 就小，R也就小鲁棒性就弱， (3)N。(O)反映系统的抗干扰能力.输出方差越大，N(⑥)越小，R越小即鲁棒性越弱， 显然，R的定义包含了上面提出的鲁棒性应考虑的5个方面，并且可通过加权阵Q的合 理选择来达到强调某种系统特性的目的，例如，当i较小时，将Q:选得较大，然后逐步使 之变小，便可以达到强调超调量的抑制作用和提高响应速度的目的·反之，当较小时，将 Q,选得较小，然后逐步使之变大，便可以达到强调调节时间的目的， 2基本MAC的鲁棒性分析 2.1基本MAC概述

· 372 · 北 京 科 技 大 学 学 报 1男 5年 N 0 . 4 控 制算法的鲁 棒性是指 当被控对象的特性 发生 变化时 , 如 系统 成分 的忽 略 , 大的参数 变 化 , 阶次和 时延 发生迁移等情况 下 , 控制算法 对系统稳 定性 的保持能力和对期望 输出的跟踪 能力 . 因而 , 考虑 一个算法的鲁 棒性 应从如下 3 个方 面着 手: ( l) 系 统本身 的稳 定 性 ; ( 2) 系 统 的静差 ; ( 3) 结 构变 化时系 统 的稳定 性 . 若仅考虑 线 性系 统 , 上 述 第 3 方 面还 可 具 体描述为 : ( l) 阶 次变化 时系 统 的稳定 性 ; ( 2) 被 控 对象模 型参 数剧 变时 系 统 的稳定 性 ; ( 3) 时延变化时 系 统 的稳定性 . 根据上述 5 个方面 的要求 , 警棒性量化指标不仅要反 映 系统 的静态响应质量 , 而 且 要 考 虑 其动态性能 , 如跟踪速度 、 超 调 量等 . 为此 , 可 以给出它 的定义形式如下 : R = { 17 , 习}公 n f 沙仁 A {[ 11夕 , 夕 r l} 。 』 ` , , /M ( a ) N 。 ( 0 )} ( l ) 式中 O 、 A 分别 表 示控制算法 的可 调参数和 可调 参数域 ; d 、 Q 分别表 示 系统 模型 失 配 系数 (阵 ) 及相 应的参数域 ( d 为单位 阵时 , 表示 不存在模型失 配 ) ; M (0 ) 表示 系 统 稳定 裕度 对 鲁棒性 指标 R 的修正 因子 , 且有 : M ( 0 ) = P ( 8 ) G (口) /( l + P ( 0 ) G ( 8 ) } 。 . 。 · ( 0 簇 M ( 8 ) 簇 l ) ( 2 ) G (0 ) , 八0) 分别 表示 系 统 模型 不 失 配 时 的 幅值裕度和 相 位裕 度 (0 * 表示 最 优参数;) N 。 (0 ) 表示 系 统噪声对鲁棒性指 标 R 的影 响系数 , 且有 : N 。 ( 8 ) = V a r (亡) /V a r ( y ) ( 0 蕊 N 。 ( 8 ) 簇 l ) ( 3 ) 上式 中分子 、 分母 分别表 示 系统 噪声 方差 和输 出方 差 ; 歹 , 又分别 表 示 系 统输 出均 值和 期 望 输出均 值; 日 日又 页 歹 , 又 } ,` 。 一 瓜 表 示 丁与又 的加 权范 数 (加权阵为 Q) , 其一般形 式如下 : 厅 i ) 一 灭( i ) ]; ` ( 4 ) 由 ( l) 式可知 , 0 簇 R 蕊 1 . R 越大 , 控 制算法 的鲁棒性越 强 . 此外 , 式中各参数项的物理含义为 : (l) 1歹 , 又 日。 不 仅反 映系 统 的静态特 性 (静差 ) , 而 且反 映 本 身的 稳 定 性 · 此 外 , 它 还 能 描述系 统 的 瞬态特性 · 若 超 调 量 越 大 或 响应 速 度 越 慢 , 则 日歹 , 又 日。 越 大 , R 越 小 , 即鲁 棒性越弱 . ( 2) M( 0) 反 映 系统 的稳定裕度 . 只要 幅值裕 度 和相位裕度 二 者 中有 一 个 较小 则 M (0) 就小 , R 也就小鲁棒性就 弱 . ( 3) N0 (0 ) 反 映 系统 的抗干 扰能 力 . 输 出方差 越 大 , N O (0 ) 越小 , R 越小 即鲁棒性 越弱 . 显然 , R 的定 义包含 了上面 提 出的鲁 棒性 应 考虑 的 5 个方面 , 并且可 通过加 权 阵 Q 的合 理选择来达到强 调某种 系 统特性的 目的 . 例 如 , 当 i 较 小 时 , 将 Q ` 选得 较 大 , 然 后逐步 使 之 变小 , 便可 以 达到 强调 超调 量 的抑制 作 用和提高 响应 速度 的 目的 . 反 之 , 当 i 较 小 时 , 将 Q , 选得较小 , 然后 逐步使之变 大 , 便可 以达到 强调 调节 时 间的 目的 . 2 基本 M A C 的. 棒性分析 2 . 1 基本 M咦 C 概述

Vol.17 No.4 郑秋宝等：控制算法鲁棒性的通用量化方法 .373 对于脉冲响应如图1所述的线性系统而言，其输出可用离散卷积公式近似描述为： Wk+1)≈gu(k)+g9u(k-1)+…+gu(k-N+1)+5k)2gTUk)+5&+1)(5) 式中：脉冲响应系列g°=(g,g,…,9)T, 输入向量U(k)={u(k),…,u(k+N+I)]', y(化+1)表示系列在t=(k+1)'时刻的实际输出 9 (向量)，u()表示第i个采样时刻，即t=iT 时的控制（向）量，N一般为30~50.5(k) gk 为外来不可测噪声， 01234 UT 若考虑测量误差，被控对象的实际脉冲系 图1系统的脉冲响应 列假设为：g=(g1,92,·,9w)T,则系统的预 测模型为： yu (k+1)=g(z-)u(k) (6) 式中：g(21)=91+g2z1+…十gwzw+1,z1为单位延迟因子， 设系统的参考轨迹为： +)-器w2品w) (7) 式中：a为柔化系数，取值范围为[O,小；W化)为被跟踪信号， MAC的整体控制框图如图2所示. W 基本MAC的闭环系统传函为：I! 参考模型 y(2) (1-x)g(z) 对象y w2=(1-x)g(2-)+(a)g(z (8) 预报器O一控制器 预测模型 由于控制量约束与否不影响MAC算法的稳定 性山，1，所以为便于分析起见，下面不考虑控 图2MAC的控制框图 制量的约束问题·另外，由于闭环MAC不存在静差[)，并且系统参数、结构和时延变化的 结果是其脉冲响应的变化，因此基本MAC的鲁棒性分析可简化为它的稳定性及其对脉冲响应变 化的适应能力的分析， 根据上述分析，可以将(1)式中涉及的模型失配问题用如下失配公式描述： goT dgT (9) 式中：d为失配因子（向量）. 2.2鲁棒性指标的计算 2.2.1稳定裕度 根据(1)式中的定义可知，计算稳定裕度对鲁棒性的影响因子时可以暂不考虑模型的 失配问题，故基本MAC的闭环传函可简化为： y(z)/w(z)=(1-ax)/(z-x) (10) 根据上式可得出如图3所述的基本MAC的等效结构框图.图中G()为前向传函，并且 G(a)=(1-x)/2-1). 为分析基本MAC的稳定裕度，将上式写成频域形式（即：令z=e)

V b l . 17 N b . 4 郑秋 宝 等: 控制算 法 鲁棒性 的通 用量化 方法 · 373 对于 脉冲响 应如 图 1所述的线 性系 统而 言 , 其输 出 可用 离散卷 积公式 近似描 述 为: 夕( k + l ) 、 川 u ( k ) + g 全 u ( k 一 l ) + … + g 乳 u ( k 一 N + l ) + 亡(k ) 望 g0 T U (k ) + 考(k + 1) ( 5 ) 式中 : 脉冲 响应系列 扩 = ( 衅 , 叭 , 一 , g 乳) 丁 , 输人 向量 U ( k ) = [ u ( k ) , … , u ( k + N + l )】 T , y (k + l) 表示 系列 在 t 二 (k + 1) T 时 刻 的实 际 输 出 (向量 ) , 。 i( ) 表 示 第 i 个采 样 时 刻 , 即 , = i T 乒 时 的 控 制 响 ) 量 , N 一 般 为 30 一 50 . 亡k( ) 勃 为外来不 可 测噪声 . 若考虑 测量 误差 , 被 控对象的实 际脉冲 系 列假设为 : g = 匆 , , 9 2 , … , 夕刃 丁 , 则系 统 的 预 测模型 为 : 0 1 2 3 4 N r / T 圈 1 系统 的脉 冲晌 应 入 ( k + l ) = 夕( z 一 ’ ) u ( k ) 式中: 夕(z 一 ’ ) = g , + 夕2 2 一 ’ + … + g 、 z ( 6 ) 为 单位 延迟 因子 . 设系 统 的参考 轨迹 为 : y r ( k + l ) = N ( z 一 ’ ) M ( z 一 ’ ) W介 ) 二 一 N + l , z 一 l 1 一 戊 1 一 “ z 一 1 W ( k ) ( 7 ) 式 中: : 为柔化系 数 , 取值范 围为【0 , ;l] W( 幻为 被跟 踪信号 . M A C 的整体控制框图如 图 2 所示 . 基本 M A C 的闭环 系 统传函为 :[ ’ 〕 参考模型 夕( z 一 ’ ) W ( z 一 ’ ) _ ( l 一 “ )夕0 ( z 一 ’ ( l 一 : ) 9 0 ( z 一 l ) + ( z - ) g ( z ( 8 ) 叫丝鱼仁 预测 模型 缸丽丽儿毖振丽 解洲剔杜歼瓢 M A C 算 法 糯 定 一 性 l, ’ 】 , 所以 为便于分析起见 , 下 面不 考虑控 图 2 M A C 的控 制框 图 制量 的约束问题 . 另 外 , 由于 闭环 M A C 不存在 静差 [ ’ ] , 并且 系 统参数 、 结 构 和 时延 变 化 的 结果 是其脉冲 响应的变 化 , 因此基本 M A C 的鲁棒性分析可简化为 它 的稳定性及其对脉冲响应变 化的 适应能力 的分析 . 根 据上 述 分析 , 可 以 将 ( l) 式 中涉及 的模型 失配 问题用如 下失 配公 式描 述 : g 0 T = d 夕T ( 9 ) 式 中: d 为失 配 因子 ( 向量 ) . 2 . 2 . 棒性指标 的计算 .2 2 . 1 稳 定裕度 根据 ( l) 式中的定义可知 , 计算稳定 裕度 对鲁棒性的 影 响 因子 时 可 以 暂不 考 虑 模型 的 失配 问题 , 故基 本 M A C 的 闭环传 函可简 化为 : 夕( z 一 ’ ) / w ( z 一 ’ ) = ( l 一 : ) / ( z 一 : ) ( 10 ) 根据上式 可得 出 如 图 3 所述 的基本 M A C 的等效 结 构框 图 . 图 中 G 阁 为前 向传函 , 并且 G ()z = ( 1 一 : )/ (z 一 1) . 为分析基本 M A C 的 稳定 裕度 , 将上 式写 成频 域形 式 (即 : 令 z = e ’ w)

·374 北京科技大学学报 1995年No.4 6侧=-号-2×品 2 (11) 相应的奈氏曲线如图4所述. I-a p10 控制器 R 2 W(z)t (z) G( 1g(z) 对象 g(z) 图3基本MAC的等效结构框图 图4基本MAC的奈氏曲线 显然，幅值裕度G(x)、相位裕度P代ax)以及稳定裕度修正系数M(x)分别为： G(x)=1/1-x) (12) P(x)=cos1[(1-x)/2] (13) 2cos-'[(1-ax)/2] M(a)=1-a+2cos-(1-x/2] (14) 2.2.2y,y。的求取 当基本MAC的输人为无约束，并且模型存在常值失配时，假设输入给定信号为一幅值为 C的阶跃函数，且Q,=1,则此时的，=C.另外，由于基本MAC算法具有线性性，并且其系 统控制律和输出均值在存在均值为0的噪声干扰和无干扰两种情况下完全一致，因此计算 川y,y.l。时可以假设无噪声干扰. 在上述条件下，基本MAC的闭环方程为：y,k+1)=ymk+I)+yk)-ym() 将y,(k+I)=ak)+(1-x)C代入上式，并考虑模型失配方程y(k)=dym(k)得： [1-(1-xd][yk)-C]=y(k+1)-C 因为，k,C。-2k)-C,所以， (y(k,Cla-)/(y(k,Cla*)=d[2-(1-x)d]/(1+x) (15) 2.2.3噪声影响系数N,(α)的求取 当系统内存在外来白噪声干扰，且模型存在常值失配时，由式(5)不难得出3： N。(a)=[2-(1-x)d]/2 (16) 综合(14)、(1S)和(16)3式可得基本MAC的鲁棒性系数如下： R=.8,1-a)'1,,{M-'()·2[2-(1-)d]1-a)d]'} (17) 2.3鲁棒性分析 为分析x对基本MAC鲁棒性的影响，有必要对(17)式做进一步的研究，并忽略它的极值 问题.因此，(17)式可写成： R=Mz)2-(1-a)d]d 2(1+a) (18)

G ( z ) l / g ( z 对象 ) ( 0 : ) ’ 图 基本 认 的等效结构框图 图 基本 的奈 氏曲线 M M 4 C C A 3 、少、 . 声, . 、尸. 了 ù, 内j 4 ,1. .1 ǎ . 了. 1 、 `. 、 显然 , 幅值裕 度 G 恤) 、 相 位裕 度 八幻 以 及稳 定裕 度修正 系数 M ( : 份别 为 : G ( : ) = l / ( l 一 二 ) p ( : ) = e o s 一 ’ 【( l 一 : ) / 2』 M ( : ) = Zco s 一 ` [( l 一 : ) / 2 ] l 一 : + Zco s 一 ’ 【( l 一 : ) / 2」 .2 .2 1歹 , 灭 日。 的求 取 当基本 M A C 的输人为 无约束 , 并 且模型存在常值 失配时 , 假设输人 给定信号 为一 幅值 为 C 的 阶跃函数 , 且 Q , = 1 , 则 此 时 的 yr = C . 另 外 , 由于基 本 M A C 算法具 有线 性性 , 并 且其 系 统控 制律 和输 出均 值在 存在 均值为 0 的噪 声 干 扰 和 无 干 扰 两 种 情 况 下 完 全 一致 , 因此 计算 l y , y r lo 时可 以 假设无 噪声 干扰 . 在 上述 条件下 , 基 本 M AC 的 闭环方 程为 : y r (k + l) = 儿 (k 十 l) + y (k ) 一 ym (k) . 将 yr (k + l) 二 : 入k) 十 (l 一 a) C 代人 上式 , 并 考虑模 型失 配方 程 y( k) = d 几 (k ) 得 : 【l 一 ( l 一 : d 』【y ( k ) 一 C』= y ( k + l ) 一 C 因为 , l} , ( k ), C ll 。 = 叉 [ , (无) 一 e ] ’ , 所 以 , 7)6) , 11 了`了性、 1 、 ( 1夕(凡), C 14 ` _ l ) / ( {l夕 ( k ), C I} 己 , 1 ) = d [ 2 一 ( l 一 : ) d l /( l + : ) .2 .2 3 噪声影 响系数 N O (幻 的求取 当系统 内存在外 来白 噪声干 扰 , 且模 型存在 常值失 配 时 , 由式 ( 5) 不 难得 出【’ 卜 N 。 ( : ) = 【2 一 ( l 一 “ ) d 』/ 2 综合 ( 14) 、 ( 巧 ) 和 ( 16 ) 3 式 可得 基本 M A C 的鲁棒 性 系数如 下 : ( 15 ) R 一 。 增 1 : ( ` 一 “ , ) 一 ’ / : 嗽 , 。 {M 一 ’ ( “ ) ’ 2 [ 2 一 ( l 一 : ) d ] 一 ’ [( l 一 : ) d ] 一 ’ } 2 . 3 鲁棒性分析 为分析 : 对基本 M A C 鲁棒性 的影 响 , 有必要对 ( 17) 式做进一 步 的研究 , 并 忽 略它 的极 值 问题 . 因此 , ( 17 ) 式 可写 成 : _ , , , 、 [ 2 一 ( l 一 仪 ) d 1 2 d 入 = 又竹 I 仪 p 一 2 ( l + “ ) ( 18 )

Vol.17 No.4 郑秋宝等：控制算法鲁棒性的通用量化方法 .375 由(12)、(13)和(14)3式可知：当x增大，即采用慢的参考轨迹时，Pa)和G(x)均随x的 增大而增大，从而使M()也相应增大.同时，因为： 0[2-(1-)d2=[2-(1-)3d+dx-2) 0x2(1+a) (19) 2(1+x) 根据稳定性要求，d∈0,2(1+x)】,所以x对鲁棒性指数R的影响可描述如下： (1)当0≤a≤2/(d-3),且0<d≤2/3时，上式小于0.则(17)式的第一项随a的增大 而减小.此时，x对R的影响就要视M(α)与(18)式第二项二者随x的变化率而定.一般来 说，当d较大时，R随x的减函数，应取较小的a. (2)当2/(d-3)≤x≤1时，上式大于0，R为x的增函数，应取较大的a. 上述结果与仿真结果完全吻合3，).这说明了本文提出的鲁棒性指数可以用于某些控制 算法的鲁棒性的分析与研究，虽然，上述结果是在无输人约束的情况下得出的，但仍具有一般 性，因为MAC算法只要在无约束时稳定，在有约束时就必然稳定1，斗. 3增量型MAC的鲁棒性分析 3.1增量型MAC概述 为提高基本MAC抗系统的非自平衡能力，可以对(5)~(8)式进行增量化或处理，得到如 下所述的系统模型： k+1)=y(k)+gr·△·U(k)+△·5(k+1) (20) 式中：△=1一z1,其余参数意义同前. 预测模型为：yM(k+I)=yM(k)+g△·U(k) (21)） 前馈式参考轨迹为：y,(k+1)≌ayk)+(1-)W(k+1) (22) 增量型MAC的整体控制框图同图2. 增量型MAC的闭环系统传函为)： y(z-) z(1-x)g(z) w2片=(1-x)g2）+(2-1)g(e可 (23) 显然，两种MAC算法的特征多项式完全相同，故基本MAC的稳定性结果适用于增量型MAC 即：若增量型MAC的预测模型存在常值增益失配，则失配因子d应满足的稳定性条件为 d∈(0,2/(1+x)并且x越大，稳定域越大. 3.2鲁棒性指标的计算 (1)稳定裕度 同上节一样，若暂时不考虑模型的失配问题，则增量型MAC的闭环传函可简化为： y(2)/w(z)=z(1-x)/(z-) (24) 比较(24)与(I0)两式可知：增量型MAC的闭环传函比基本MAC的闭环传函在分 子中多了一个超前因子z,故具有较强的抗时延能力，增量型MAC的等效结构框图的形式与 图3相同，只不过其前向传函为G(②)=1一x)/x(2-1)小

Vo l . 17 N 6 . 4 郑 秋 宝等:控制算 法 鲁棒 性的通 用量 化方法 · 375 · 由 ( 12 ) 、 ( 1 3) 和 ( 14) 3 式 可 知 : 当 : 增大 , 即采用 慢 的参考 轨迹 时 , 尸( “ ) 和 G 恤) 均 随 : 的 增大而 增大 , 从而使 M恤) 也相应增大 . 同 时 , 因为 : 刁 12 一 ( l 一 “ 、d 1 2 rZ 一 ( l 一 “ 、 1( 3 d + d “ 一 2 ) 一 一 = 一 门 9 、 a : 2 ( 1 + : ) 2 ( l + 二 ) 根据稳定性 要求 , d 任 0[ , 2 l(/ + 幻』 , 所 以 : 对鲁 棒性 指数 R 的影 响 可描述 如下 : ( l) 当 0 镬 : 簇 2 / ( d 一 3) , 且 O < d ( 2 3/ 时 , 上 式 小 于 0 . 则 ( 17) 式 的第一 项随 : 的增 大 而 减 小 . 此 时 , : 对 R 的影 响就 要视 M (幻 与 ( 18 )式 第二 项二 者 随 : 的变化率而 定 . 一般 来 说 , 当 d 较大时 , R 随 : 的减 函数 , 应 取较 小 的 : . (2 ) 当 2 / ( d 一 3 ) 镬 : 簇 1 时 , 上式大于 O , R 为 : 的增 函数 , 应 取较大 的 : . 上述 结果 与仿真结果完全 吻合 [ ’ , 月] . 这说 明了 本文 提 出的 鲁 棒 性 指 数 可 以 用 于 某些 控制 算法 的鲁棒性 的分析与研究 . 虽 然 , 上述 结果 是 在无输 人 约束的情况 下得 出 的 , 但 仍 具 有 一 般 性 , 因为 M A C 算法 只要在 无约束时稳 定 , 在 有 约束 时就必 然稳 定 [ ’ 1 2 } . 3 增量型 M A C 的鲁 棒性分析 3 . 1 增 , 型 M叭 C概述 为提 高基本 M A C 抗系 统 的非 自平衡能力 , 可 以 对 ( 5) 一 ( 8) 式 进行增量 化或处理 , 得 到 如 下所述的 系统模型 : y ( k + l ) = y ( k ) + g 0 T · △ · U ( k ) + △ · 亡( k + l ) ( 20 ) 式 中 : △ = 1一 : 一 ’ , 其余参数意 义 同前 . 预 测模型为 : 夕M (k + l ) = 夕M (k ) + g T A · U ( k ) ( 2 1 ) 前馈式参考 轨迹 为 : 夕 : (k + l ) 丝 : 夕(k ) + ( l 一 : )叫k + l ) ( 2 2 ) 增量 型 M A C 的整体控制 框 图 同图 .2 增量 型 M A C 的闭环 系 统传函 为 【’ :] z ( l 一 : ) g “ ( z 一 ’ ) W ( z 夕( z 一 ` ) ( l 一 : ) 9 0 ( z 一 ’ ) + ( z 一 l ) g ( z 一 ’ ) ( 2 3 ) 显然 , 两种 M AC 算法 的特 征多 项式 完全相 同 , 故基本 M A C 的稳定性结果适用于增量型 M AC . 即: 若增 量型 M A C 的 预 测模 型 存 在 常 值 增 益 失 配 , 则 失 配 因 子 d 应 满 足 的 稳 定 性 条 件 为 d 任( 0 , 2 / ( l + : ) ) , 并 且 : 越 大 , 稳 定域越大 . 3 . 2 每棒性指标的计算 ( l) 稳 定裕度 同上节一 样 , 若暂时不 考虑 模型的失 配 问题 , 则 增量 型 M A C 的 闭环传函可 简化为 : y ( z ) / w ( z ) = z ( l 一 : ) /( z 一 : ) ( 2 4 ) 比较 ( 2 4) 与 ( 10) 两 式可 知 : 增量 型 M A C 的闭环传 函 比基本 M A C 的 闭环 传函 在 分 子 中多了一 个超前 因子 z , 故 具有 较强 的抗 时延能 力 . 增量 型 M A C 的等 效结 构框 图 的形 式 与 图 3 相 同 , 只 不过 其前 向传 函为 G (z) = 式1 一 幻 /恤(z 一 1)]

·376 北京科技大学学报 1995年No.4 前向传函G(a)写成频域形式（即：令z=e"),有： Gw)=(1/a)·emG(w) (25) 式中：Go(w)表示基本MAC的前向传函. 增量型MAC的幅值裕度为基本MAC的2a倍，即：G()=2a/(1一x).其相位裕度及 稳定裕度修正系数分别为： Pa)=w+cos-1[(1-a)/2] (26) 2a{w+cos-'[(1-)/2]} M(a)=1-a+2a4w+c0s[0-a)/2I} (27) ②)y,,H。的求取在上节相同的条件下，Ⅱy,以，‖。的求取过程及其结果与 上节完全相同， (③)噪声影响系数N。(α)的求取当系统内存在外来白噪声干扰，并且棋型存在常值失 配时，由增量型MAC的增量模型(20)式及其闭环模型可以得出3： N(a)=[2-(1-x)d]/2 (28) 由上述分析可知两种MAC算法的鲁棒性系数的唯一区别在于M(α)的不同· 3.3鲁棒性分析 由于增量型MAC鲁棒性指数R'与基本MAC鲁棒性指数R的唯一区别在于M(a)的 不同，所以其鲁棒性分析关键在于M(a)的分析，由(27)式可知：M(x)为x的增函数， 表明两种鲁棒性分析结果基本类似，在此不再细述· 比较(27)和(14)两式可以发现：当x和W均较大时，R′>R 它表明被控系统跟踪慢的参考轨迹时比跟踪快的更易稳定，鲁棒性更强；此外，增量型 MAC通常比基本MAC具有更强的鲁棒性，这已被仿真结果验证3，！，它再次证明了本文提 出的鲁棒性指数可以用于某些控制算法的鲁棒性的分析与研究. 4结论 由基本MAC和增量型MAC的鲁棒性分析可以看出：文中所述鲁棒性量化指标的确能 反映一类控制算法的鲁棒性，可以作为控制算法理论分析和实际应用的指导性指标使用.当 然，由于文中讨论的实例有限，因而它能否用于更广泛的领域有待考验.最后，必须指出， 该鲁棒性量化指标用于一些复杂算法时，可以借助于计算机技术，对‖y,,‖。等 因子进行在线数值化处理. 参考文献 1 Ramine Rouhani,Raman K.Mehra.Model Algorithmic Control (MAC):BasicTheoretical Properties. Automatica,1982,184):401~414 2 Raman K Mehra.Model Algorithmic Control:Theoretical Results on Robustness.JACC,1979,1: 387-392 3郑秋宝.模型算法控制及其在加热炉上的应用：【硕士学位论文]北京：北京科技大学，1989 4 Zhend Qiubao(郑秋宝)，Shu Diqian(舒迪前).Intelligent Self--tuning Model Algorithmic Control.. In:Proceedings Intem.AMSE Conf.'Signals and Systems'.France:AMSE Press,1989 (3):19~29

北 京 科 技 大 学 学 报 l男 5年 N 6 . 4 前 向 传 函 G 伺 写成 频 域 形 式 (即: 令 : = 。 J` ) , 有 : G (w ) = ( l / : ) · e ’ ` G 。 (w ) 式 中 : G 。 (w) 表 示基本 M A C 的前 向传 函 . 增 量型 M A C 的幅值裕 度为 基本 M A C 的 2 : 倍 , 即: G 恤) = 稳定 裕度 修正系 数分别 为 : 八 : ) = w + co s 一 ’ 【( l 一 : ) / 2 』 ( 2 5 ) 2 二 (/ 1 一 : ) . 其相 位裕 度及 M ( : ) = 2 “ { w + co s 一 ’ [( l 一 : ) / 2 ]} l 一 “ + 2 “ { w + co s 一 ’ [( l 一 : ) / 2 ]} ( 2 6 ) ( 2 7 ) (2) lF , 又 1 。 的求取 在 上 节 相 同 的 条 件 下 , }}歹 , 又 日。 的 求 取 过 程 及其 结 果 与 上 节 完全相 同 . (3) 噪 声影 响系数 N0 (劝 的求取 当系 统 内存 在 外 来 白 噪声 干扰 , 并 且 模型存 在 常值失 配时 , 由增量 型 M A C 的增 量模 型 ( 2 0) 式及 其闭环模型 可 以 得 出〔 3 :] N0 ( : ) = 2[ 一 ( l 一 : ) d l / 2 ( 2 8 ) 由上 述分析 可 知 两种 M A C 算 法 的鲁棒 性 系数 的 唯一 区 别在 于 M (幻 的不 同 . 3 . 3 鲁棒性分析 由于 增量 型 M A C 鲁棒性 指数 ’R 与基本 M A C 鲁棒 性 指 数 R 的 唯一 区 别 在 于 M (幻 的 不 同 , 所 以 其鲁 棒 性 分 析关 键 在 于 M 恤) 的分 析 . 由 ( 2 7) 式 可 知 : M (幻 为 : 的增 函 数 , 表 明 两种 鲁棒性 分析结果基本类 似 , 在 此不 再细 述 . 比较 ( 2 7) 和 ( 14) 两式 可 以 发现 : 当 : 和 W 均 较大 时 , ’R > R . 它 表 明被 控 系 统 跟 踪 慢 的参考 轨 迹 时 比跟 踪 快 的更 易 稳 定 , 鲁 棒 性 更 强 ; 此 外 , 增 量 型 M A C 通 常 比基本 M A C 具有更 强 的鲁棒性 . 这 已被 仿 真结 果验 证〔 ’ , 4 ] . 它 再次证 明了本 文提 出的鲁棒性 指数可 以 用 于某 些控 制算法 的鲁 棒性 的分析 与研究 . 4 结 论 由基 本 M A C 和增 量 型 M A C 的鲁棒 性分 析可 以看 出: 文 中所述鲁 棒性 量 化 指 标的 确 能 反 映一 类控 制算 法 的鲁 棒性 , 可 以作 为控 制算法理 论分 析 和实 际应 用 的指导性 指 标使用 . 当 然 , 由于文 中讨论的实 例有 限 , 因而 它能 否用 于更 广泛 的领 域有 待考 验 . 最 后 , 必 须 指 出 , 该 鲁 棒性 量 化 指 标用 于 一 些 复 杂 算 法 时 , 可 以 借 助 于 计 算 机 技 术 , 对 日歹 , 又 日。 等 因子 进行 在线数值化处理 . 参 考 文 献 1 R aj m i l l e R o ul 坦川 , R a rT 坦n K . M e加限 . M od e l 月go ir ht m i e 伪 n it O I 伪认)C 二B a s i c l l切把6喇 P n 〕伴川比 . 八刀仍宜以石口 , 1982 , l狱4 ) : 4() l 一 4 14 2 R a 庄旧n K M e h ar . M oc le 1 A 」即 ir ht l n j e oC n 比L l l袱〕er ti G习 R es ul st o n R o b璐 t l祀路 . J A C C , 19为 , 卜 387 一 392 郑秋宝 . 模型算法控 制及其在加热炉上的 应用 : 耐 场u 饮幻 乃众刀习加邵 刀比记 ( 郑 秋 宝 ) , Shu 肠q 地 ( 舒 迪 前 ) 玩证 m . A M S E Cb nf ’ 5 191 坦15 an d s 〔硕士学位 论文 】 . 北京 : . 功把睡卿t eS lf 一 h而飞 哪 t e n 拐 , . F 琦田ce : A M S E 北京 科技 大学 , 1989 M 以允1 P n 改粥 , 月g o ir 由而e ( b n it o l . 1989 ( 3 ) : 19 一 29