精占有市场的二,B,C两厂产品分别占有市场的 24吸收链 马氏链还有一种重要类型一吸收链。 若马氏链的转移矩阵为 1234 10.303004 2|0.030203 30030304 000 P的最后一行表示的是,当转移到状态4时,将停留在状态4,状态4称为吸收状态。 如果马氏链至少含有一个吸收状态,并且从每一个非吸收状态出发,都可以到达某 个吸收状态,那么这个马氏链被称为吸收链。 具有r个吸收状态,S(S=n-r)个非吸收状态的吸收链,它的n×n转移矩阵的标 准形式为 P (4) R S 其中L为r阶单位阵,O为r×s零阵,R为sxr矩阵,S为s×s矩阵。从(4)得 (5) (5)式中的子阵S"表示以任何非吸收状态作为初始状态,经过n步转移后,处于S个 非吸收状态的概率。 在吸收链中,令F=(1-S)-,则F称为基矩阵。 对于具有标准形式(即(4)式)转移矩阵的吸收链,可以证明以下定理 定理5吸收链的基矩阵F中的每个元素,表示从一个非吸收状态出发,过程到达 每个非吸收状态的平均转移次数。 定理6设N=FC,F为吸收链的基矩阵,C= ,则N的每个 元素表示从非吸收状态出发,到达某个吸收状态被吸收之前的平均转移次数。 定理7设B=FR=(b),其中F为吸收链的基矩阵,R为(4)式中的子阵, 则b表示从非吸收状态i出发,被吸收状态j吸收的概率。 例10智力竞赛问题甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则规定:竞赛开始时, 甲、乙两队各记2分,在抢答问题时,如果甲队赢得1分,那么甲队的总分将增加 分,同时乙队总分将减少1分。当甲(或乙)队总分达到4分时,竞赛结束,甲(或乙) 获胜。根据队员的智力水平,知道甲队得1分的概率为P,失去1分的概率为1-p, 求:(i)甲队获胜的概率是多少?(ⅱi)竞赛从开始到结束,分数转移的平均次数是多 少?(ⅲ)甲队获得1、2、3分的平均次数是多少? 分析甲队得分有5种可能,即0、1、2、3、4,分别记为状态a0,a1a2,a3,a4, 其中a0和a4是吸收状态,a1,a2和a3是非吸收状态。过程是以a2作为初始状态。根据-214- 精占有市场的 7 5 ， B,C 两厂产品分别占有市场的 84 11 ， 84 13 。 2.4 吸收链 马氏链还有一种重要类型—吸收链。 若马氏链的转移矩阵为 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0 0 0 1 0 0.3 0.3 0.4 0.2 0.3 0.2 0.3 0.3 0.3 0 0.4 4 3 2 1 1 2 3 4 P ， P 的最后一行表示的是，当转移到状态 4 时，将停留在状态 4，状态 4 称为吸收状态。 如果马氏链至少含有一个吸收状态，并且从每一个非吸收状态出发，都可以到达某 个吸收状态，那么这个马氏链被称为吸收链。 具有 r 个吸收状态，s(s = n − r)个非吸收状态的吸收链，它的n ×n 转移矩阵的标 准形式为 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = R S I O P r （4） 其中 r I 为 r 阶单位阵，O 为 r × s 零阵， R 为 s × r 矩阵， S 为 s × s 矩阵。从（4）得 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = n n r Q S I O P （5） （5）式中的子阵 n S 表示以任何非吸收状态作为初始状态，经过n 步转移后，处于 s 个 非吸收状态的概率。 在吸收链中，令 1 ( ) − F = I − S ，则 F 称为基矩阵。 对于具有标准形式（即(4)式）转移矩阵的吸收链，可以证明以下定理： 定理 5 吸收链的基矩阵 F 中的每个元素，表示从一个非吸收状态出发，过程到达 每个非吸收状态的平均转移次数。 定理 6 设 N = FC ， F 为吸收链的基矩阵， [ ] T C = 1 1 L 1 ，则 N 的每个 元素表示从非吸收状态出发，到达某个吸收状态被吸收之前的平均转移次数。 定理 7 设 ( ) B = FR = bij ，其中 F 为吸收链的基矩阵， R 为（4）式中的子阵， 则bij 表示从非吸收状态i 出发，被吸收状态 j 吸收的概率。 例 10 智力竞赛问题 甲、乙两队进行智力竞赛。竞赛规则规定：竞赛开始时， 甲、乙两队各记 2 分，在抢答问题时，如果甲队赢得 1 分，那么甲队的总分将增加 1 分，同时乙队总分将减少 1 分。当甲（或乙）队总分达到 4 分时，竞赛结束，甲（或乙） 获胜。根据队员的智力水平，知道甲队赢得 1 分的概率为 p ，失去 1 分的概率为1− p ， 求：（i）甲队获胜的概率是多少？（ii）竞赛从开始到结束，分数转移的平均次数是多 少？（iii）甲队获得 1、2、3 分的平均次数是多少？ 分析 甲队得分有 5 种可能，即 0、1、2、3、4，分别记为状态 0 1 2 3 4 a ,a ,a ,a ,a ， 其中a0和 4 a 是吸收状态， 1 2 a ,a 和a3是非吸收状态。过程是以 2 a 作为初始状态。根据