Cauchy积分公式 无界区域的 Cauchy积分公式 对于无界区域,需要假设f(2)在简单闭合围道C上及C 外(包括无穷远点)单值解析.类似地,现在计算 其中a为C外一点,积分路线C的走向是顺时针方向,即绕 无穷远点的正向,如图42 在C外再作一个以原点为圆心,R为半径的大圆CR 这样,对于C和CR所包围的复连通区域,根据有界区域的 无界区域的 cauchy积分公式 Cauchy积分公式,有 1f(2) 这里积分路线CR的走向是逆时针方向.只要R足够大,这个结果当然就与R的具体大小无关, 于是,可令R 而得到 1f(2) dz=f(a)-lim 如果f(z)满足第三讲引理3.2的要求,则可以计算出沿大圆CR的积分的极限值, f(2) K= lim z f(∞) 因此 dz= f(a 特别当K=0时,就得到 无界区域的 Cauchy积分公式:如果f(x)在简单闭合围道C上及C外解析,且当z→∞ 时,f(2)一致地趋于0,则 Cauchy积分公式 f(2) 仍然成立,此处a为C外一点,积分路线C为顺时针方向Wu Chong-shi §4.1 Cauchy ☎✆✝✞ ✟ 2 ✠ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ♥♦❜✲✦✧✰♣qr✤ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③ (④⑤❜⑥⑦✼ ) ✪✫✬✭❄⑧⑨⑩✰❶❆❷❸ 1 2π i I C f(z) z − a dz, ✾ ★ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✩❹ ❃✥❺❻❼❽ ❃✰❾❿ ❜⑥⑦✼ ✩❂ ❃✰➀❊ 4.2 ❄ ❆ C ③➁❇ ✻➂➃➄✼ ✹ ❈➅✰ R ✹➆➇✩❵ ❈ CR ✰ ➈➉✰♥♦ C ➊ CR ➋④ ✈ ✩ ❑▲▼✦✧✰■❏P✲✦✧✩ Cauchy ✿✳➌➍✰P ◗ 4.2 ➎❙❚❯❱ Cauchy ❲❳❨❩ 1 2π i I CR f(z) z − a dz + 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a), ➈➏✿✳❀✸ CR ✩❹ ❃✥➐❻❼❽ ❃❄➑q R ➒➓❵✰➈ ➂ ❭❪➔→❥❴ R ✩➣↔❵❛❜❝✰ ♦ ✥ ✰❡❢ R → ∞ ✰↕❧➙ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a) − lim R→∞  1 2π i I CR f(z) z − a dz  . ➀❪ f(z) ➛➒➜➝➞✐ ❖ 3.2 ✩ q➟✰✽❡➃ ❷❸➠❁❵ ❈ CR ✩✿✳✩➡➢✫✰ lim R→∞  1 2π i I CR f(z) z − a dz  = K, K = limz→∞ z · f(z) z − a = f(∞). ❣ ❬✰ 1 2π i I C f(z) z − a dz = f(a)−K. ➤➥➔ K = 0 ❻ ✰❥❧➙➦ ♠✗✘✙✚ Cauchy ✛✜✢✣ ➦➀❪ f(z) ❆s✪t✉ ✈✇ C ①② C ③✬✭✰➧➔ z → ∞ ❻ ✰ f(z) ✻➨⑩➩♦ 0 ✰✽ Cauchy ✿✳➌➍ f(a) = 1 2π i I C f(z) z − a dz ➫→➭➯✰❬➲ a ✹ C ③ ✻ ✼✰✿✳❀✸ C ✹❺❻❼❽ ❃❄