30.设A,BCR”.证明 (i).(A∩B)=A∩B° (i).(A∪B)=A'∪B,A∪B=A∪B. 31.设AcR",证明A的闭包A和A的导集A都是闭集 32.设A,BCR”,A∩B=.证明A∩B°=Q 33.证明定理149 4.设AcR",x∈R.定义x与A的距离为d(x,A)=infd(x,y).证明 (i).函数f(x)=d(x,A)是R”上的连续函数 (i).若A是闭集,xgA.则d(x,A)>0 (i).若A是有界闭集,则对任意x∈R",存在y∈A使得 d(,yo)=d(x, A) 35.设f(x)是R上的实值函数.证明∫(x)在R”上连续的充要条件是对任意 常数c,集{x:f(x)≤c}和{x:f(x)≥c}都是闭集 36.证明:每个闭集可以表示成可数个开集的交每个开集可表示成可数个闭集的并 37.证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集 提示:利用直线上开集的构造定理 38.设AcR".证明若A是可数集,则A是可数集 提示:先证明若A=②,则A是有限集或者可数集 39.设∫是R上的实值函数证明∫的连续点的全体是一个G。型集 提示{a:mf(x)存在并且有限}=∩Gn其中 {a:36>0,wx,x∈U(a,,(x)-f(x) 0设{fn}是R上的一列连续函数证明{x:1imfn(x)>0}是F型集 {x: lim f(x)=+o}是G型集 提示: lim f,(x)>0当且仅当存在k∈N和m∈N,使得对任意 n≥m,fn(x)≥1/k 41.设∫是[a,b上单调增加的实值函数,使得∫([a,b])在[f(a),f(b)中稠密 证明∫在[a,b]上连续 42.分别在以下情形下,证明σ(C)=B(R) (1).C是直线上型如[a,+∞)区间的全体 (2).C是直线上有界左开右闭区间(a,b的全体40 30. 设 A, . B ⊂ n R 证明 (i). ( ) . o o o A ∩ B = A ∩ B ( , ii). (A ∪ B)′ = A′ ∪ B′ A ∪ B = A ∪ B. 31. 设 A ⊂ , n R 证明 A 的闭包 A 和 A 的导集 A′ 都是闭集. 32. 设 A, B ⊂ , n R A ∩ B = ∅. 证明 ∩ = ∅. o A B 33. 证明定理 1.4.9. 34. 设 A ⊂ , n R x ∈ . n R 定义 x 与 A 的距离为d(x, A) inf d(x, y) y∈A = . 证明: (i). 函数 f (x) = d(x, A) 是 n R 上的连续函数. (ii). 若 A 是闭集, x ∉ A. 则 d(x, A) > 0. (iii). 若 A 是有界闭集 , 则对任意 x ∈ , n R 存 在 y0 ∈ A 使 得 ( , ) ( , ). d x y0 = d x A 35. 设 f (x) 是 n R 上的实值函数. 证明 f (x) 在 n R 上连续的充要条件是对任意 常数 c, 集{x : f (x) ≤ c}和{x : f (x) ≥ c}都是闭集. 36. 证明: 每个闭集可以表示成可数个开集的交,每个开集可表示成可数个闭集的并. 37. 证明空集和全直线是直线上仅有的又开又闭的集. 提示: 利用直线上开集的构造定理. 38. 设 A ⊂ . n R 证明若 A′ 是可数集, 则 A 是可数集. 提示: 先证明若 A′ = ∅, 则 A 是有限集或者可数集. 39. 设 f 是 1 R 上的实值函数. 证明 f 的连续点的全体是一个Gδ 型集. 提示: { : lim ( ) } . 1 I ∞ = → = n n x a a f x 存在并且有限 G 其中 }. 1 { : 0, , ( , ), ( ) ( ) n G a x x U a f x f x n = ∃δ > ∀ ′ ′′∈ δ ′ − ′′ < 40. 设{ }n f 是 1 R 上的一列连续函数. 证明{ : lim ( ) > 0} →∞ x f x n n 是 Fσ 型集, { : lim ( ) = +∞} →∞ x f x n n 是Gδ 型集. 提 示 : lim ( ) > 0 →∞ f x n n 当且仅当存在 k ∈ N 和 m ∈ N, 使得对任意 n ≥ m, f (x) 1 k . n ≥ 41. 设 f 是[a,b] 上单调增加的实值函数, 使得 f ([a,b]) 在[ f (a), f (b)] 中稠密. 证明 f 在[a,b]上连续. 42. 分别在以下情形下, 证明 ( ) ( ) 1 σ C = B R : (1). C 是直线上型如[a, + ∞) 区间的全体. (2). C 是直线上有界左开右闭区间(a, b]的全体