(4)星形线 0≤t≤2π; y=asin, x=a(cost+tsin t) (5)圆的渐开线 0≤t≤2π y=a(sin t-t cost), (6)心脏线r=a(1-cos0),0≤0≤2π; (7)阿基米德螺线r=a0,0≤θ≤2π; (8 r= asin 0≤6≤3m 4.在旋轮线的第一拱上,求分该拱的长度为1:3的点的坐标 5.求下列几何体的体积: (1)正椭圆台:上底是长半轴为a、短半轴为b的椭圆,下底是长半轴为A、短半轴为 B的椭圆(A>a,B>b),高为h (2)椭球体 (3)直圆柱面x2+y2=a2和x2+2=a2所围的几何体; (4)球面x2+y2+22=a2和直圆柱面x2+y2=ax所围的几何体。 6.证明以下旋转体的体积公式 (1)设∫(x)≥0是连续函数,由0≤a≤x≤b,0≤y≤∫(x)所表示的区域绕y轴旋转 周所成的旋转体的体积为 V=2rxf(x)do (2)在极坐标下,由0≤α≤θ≤β≤π,0≤r≤r(θ)所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 2 r(0)sin Ade 7.求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积: (2)y=sinx,y=0,0≤x≤π, ①绕x轴,②绕y轴 a cost (3)星形线 0≤t≤π,绕x y=asin =a(t-sin t), (4)旋轮线 t∈[0,2r],y=0, y=a(l- cOs ①绕y轴,②绕直线y=2a; (5)x2+(y-b)2=a2,(0<a≤b),绕x轴 心脏线r=a(1-cos0),绕极轴; 对数螺线r=ae°,0≤0≤π,绕极轴 )2=a2(x2-y2),绕x轴 8.将抛物线y=x(x-a)与y=0所界区域在x∈[0,a]和x∈[a,c]的部分分别绕x轴旋 转一周后,所得到旋转体的体积相等,求c与a的关系 9.记()是曲线y=,x与y=0所界区域在x∈[0.1的部分绕x轴旋转一周所得 到的旋转体的体积,求常数a使得满足⑷ 星形线 ； x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 2π ⑸ 圆的渐开线 ； x a t t t y a t t t t = + = − ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ (cos sin ), (sin cos ), 0 2π ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑺ 阿基米德螺线r a = θ, 0 2 ≤ θ ≤ π ； ⑻ 3 sin3 θ r = a ，0 ≤ θ ≤ 3π 。 ⒋ 在旋轮线的第一拱上，求分该拱的长度为 1:3 的点的坐标。 ⒌ 求下列几何体的体积： ⑴ 正椭圆台：上底是长半轴为a 、短半轴为b 的椭圆，下底是长半轴为 A 、短半轴为 B 的椭圆（ A a > , B > b），高为 h ； ⑵ 椭球体 x a y b z c 2 2 2 2 2 2 + + = 1； ⑶ 直圆柱面 x y 2 2 + = a2 和 x z a 2 2 2 + = 所围的几何体； ⑷ 球面 x y 2 2 + + z 2 = a2 和直圆柱面 x y ax 2 2 + = 所围的几何体。 ⒍ 证明以下旋转体的体积公式： ⑴ 设 f x( ) ≥ 0 是连续函数，由0 ≤ a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x) 所表示的区域绕 轴旋转 一周所成的旋转体的体积为 y V xf x a b = 2π∫ ( )dx ； ⑵ 在极坐标下，由 0 ≤ ≤ α θ ≤ β ≤ π, 0 ≤ r r ≤ (θ) 所表示的区域绕极轴旋转一周所 成的旋转体的体积为 V r = ∫ 2 3 3 d π θ θ α β ( )sin θ 。 ⒎ 求下列曲线绕指定轴旋转一周所围成的旋转体的体积： ⑴ x a y b 2 2 2 2 + = 1，绕 x 轴； ⑵ y x = sin ， y = 0 ，0 ≤ x ≤ π， ① 绕 x 轴， ② 绕 y 轴； ⑶ 星形线 ，绕 x a t y a t t = = ⎧ ⎨ ⎩ ≤ ≤ cos , sin , 3 3 0 π x 轴； ⑷ 旋轮线 ， x a t t y a t t = − = − ⎧ ⎨ ⎩ ∈ ( sin ), ( cos ), [ , ] 1 0 2π y = 0 ， ① 绕 y 轴， ② 绕直线 y a = 2 ； ⑸ x y 2 2 + − ( ) b = a2 ，（0 < a ≤ b ），绕 x 轴； ⑹ 心脏线r a = − ( c 1 osθ) ，绕极轴； ⑺ 对数螺线r a = e , θ 0 ≤ θ ≤ π ，绕极轴； ⑻ ( ) x y 2 2 + =2 a2 (x 2 − y 2 )，绕 x 轴。 ⒏ 将抛物线 y x = ( ) x − a 与 y = 0 所界区域在 x a ∈[ , 0 ]和 x a ∈[ , c]的部分分别绕 x 轴旋 转一周后，所得到旋转体的体积相等，求c 与a 的关系。 ⒐ 记V(ξ) 是曲线 y x x = 1+ 2 与 y = 0 所界区域在 x ∈[ , 0 ξ] 的部分绕 x 轴旋转一周所得 到的旋转体的体积，求常数a 使得满足 6