银川科技职业学院《高等激学》教案 第十章曲线积分和曲面积分 应注意的问题： 下限a对应于L的起点，上限B对应于L的终点，a不一定小于B. 讨论： 若空间曲线下由参数方程 =p),y=w(t),2=@(t) 给出，那么曲线积分 手Pxya+0axya冰+Rx.y.zY=? 如何计算 提示： 「Pxa+Ax.y.-)dy+Rxy2t -J2iP0.v).0k(+A.v0.o/W+Ro.vo0pOid. 其中a对应于下的起点，B对应于下的终点. 例题： 例1.计算∫x,其中L为抛物线广=x上从点4L,-1)到点B1,1)的一段弧. 解法一：以x为参数.L分为AO和OB两部分： AO的方程为y=-√，x从1变到0；OB的方程为y=,x从0变到1. 因此d=Aot+oBk =-+h=2k= 第二种方法：以y为积分变量.L的方程为y,y从-1变到1.因此 =02y=2=号 例2.计算yd (1)儿为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2; (2)从点A(a,0)沿x轴到点B(-a,0)的直线段. 解(1)儿的参数方程为 x=a cose,y=a sine, 0从0变到π 因 、 Sds=asin2Q-asin0xl0-a(I-cos2ONdcos0--a. (2)L的方程为=0，x从a变到-a. 因此 y2dx=Odx=0. 第10页银川科技职业学院《高等数学》教案 第十章 曲线积分和曲面积分 第 10 页 应注意的问题 下限 a 对应于 L 的起点 上限  对应于 L 的终点  不一定小于   讨论 若空间曲线  由参数方程 x t) y = (t) z(t) 给出 那么曲线积分  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz ？ 如何计算 提示  P(x, y,z)dxQ(x, y,z)dyR(x, y,z)dz      {P[(t),(t),(t)] (t) Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt  其中  对应于  的起点  对应于  的终点 例题 例 1计算 L xydx 其中L为抛物线 y 2 x上从点 A(1 1)到点 B(1 1)的一段弧 解法一 以 x 为参数 L 分为 AO 和 OB 两部分 AO 的方程为 y x  x 从 1 变到 0 OB 的方程为 y x  x 从 0 变到 1 因此      L AO OB xydx xydx xydx 5 4 ( ) 2 1 0 2 3 1 0 0 1         x x dx x xdx x dx  第二种方法 以 y 为积分变量 L 的方程为 xy 2  y 从1 变到 1 因此     1 1 2 2 xydx y y(y ) dy L 5 4 2 1 1 4    y dy  例 2 计算 L y dx 2  (1)L 为按逆时针方向绕行的上半圆周 x 2 +y 2 =a 2  (2)从点 A(a 0)沿 x 轴到点 B(a 0)的直线段 解 (1)L 的参数方程为 xa cos ya sin  从 0 变到 因此         0 2 2 2 y dx a sin ( asin )d L       0 3 2 a (1 cos )d cos 3 3 4  a  (2)L 的方程为 y0 x 从 a 变到a 因此 0 0 2     a L a y dx dx 