处连续的函数,它的不可导的点并不是很多,最起码这些点之间会有一些“空隙”。 但这是不对的,因为确实存在着处处连续但处处不可导的函数。这样的函数的第 个例子是由 Weierstrass举出来的。他指出,若0<a<1,b是奇整数,且 b>1+丌,则函数 f(x)=∑a"cos(ba) 处处连续,但处处不可导 我们知道,若一个函数在一个区间(a,b)上的导数恒大于0,则它在(a,b)上 单调增加。但若一个函数在一个点x处大于0,是否它会在x附近单调增加呢? 答案是不一定。例如,函数f(x)= x+2x2sn-,x≠0, 它的导数为 0, x=0 1+4xsn--2cos-,x≠0, ∫(x) 1, x=0. 它在x=0点的每个邻域内都兼取正值和负值,因此函数∫在x=0点的任何邻域 上都不单调。处连续的函数，它的不可导的点并不是很多，最起码这些点之间会有一些“空隙”。 但这是不对的，因为确实存在着处处连续但处处不可导的函数。这样的函数的第 一个例子是由 Weierstrass 举出来的。他指出，若 0  a  1， b 是奇整数，且  2 3 ab  1 ，则函数     0 ( ) cos( ) n n n f x a b x 处处连续，但处处不可导。 我们知道，若一个函数在一个区间 (a, b) 上的导数恒大于 0，则它在 (a, b) 上 单调增加。但若一个函数在一个点 0 x 处大于 0，是否它会在 0 x 附近单调增加呢？ 答案是不一定。例如，函数          0, 0. , 0, 1 2 sin ( ) 2 x x x x x f x 它的导数为           1, 0. , 0, 1 2cos 1 1 4 sin ( ) x x x x x f x 它在 x  0 点的每个邻域内都兼取正值和负值，因此函数 f 在 x  0 点的任何邻域 上都不单调