§24线性谐振子 关于谐振子的研究,无论在理论上还是应用上都很重要 1.方程的化简 线性谐振子的势能函数是 其中O是谐振子的固有圆频率。所以 Schrodinger方程是: d-y 2me mo h2 h2 在方程中做如下的无量纲化变换: ax,a E 则方程变成 +(-5(5)=0 观察ξ→±∞的情形,方程近似为: 它有近似解 (5)~e 但是e*512应该舍去。再进行变换 y(5)=eH(5) 可得关于H(5)的如下方程: d -h dh A-1)H=0. 2. Hermite多项式 可以用级数法求解H(3)的方程,结果发现:只要H()是“真”无穷级数,那么在x→±∞的时 候H()就→e,仍然使v(2)发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化” 为多项式,而这就要求λ只能取一些特殊的值 设要求H(5是ξ的n次多项式,那么就必须让 元=2n+1,n=0,1,2,3, 这样,我们首先得到了能量本征值: E ho,n=01,23 其次,现在H()的方程成为 d 2h 2nH=0 不难验证下面的函数(多项式)正满足这个方程 它称为n次 Hermite多项式。也可以利用下面的生成函数来生成 Hermitian多项式:1 §2.4 线性谐振子 关于谐振子的研究，无论在理论上还是应用上都很重要。 1. 方程的化简 线性谐振子的势能函数是： 1 2 2 ( ) , 2 V x m x =  其中  是谐振子的固有圆频率。所以 Schrödinger 方程是： 2 2 2 2 2 2 2 2 0. d mE m x dx      + − =     在方程中做如下的无量纲化变换： , m m x x        =  =       2 , E   = 则方程变成 d d 2 2 2 0   + ( −  )() = . 观察  →   的情形，方程近似为： d d 2 2  2    . 它有近似解 2 / 2 ( ) ~ e .     但是 2 /2 e + 应该舍去。再进行变换： 2 / 2 ( ) e ( ), H     − = 可得关于 H() 的如下方程： d H d dH d H 2 2 2 1 0    − + ( − ) = . 2. Hermite 多项式 可以用级数法求解 H() 的方程，结果发现：只要 H() 是“真”无穷级数，那么在 x →   的时 候 H() 就 2 e →  ，仍然使 () 发散。能够避免这种情形出现的唯一出路是级数“中止”或“退化” 为多项式，而这就要求  只能取一些特殊的值。 设要求 H() 是  的 n 次多项式，那么就必须让  = 2n +1, n = 0,1, 2,3,  这样，我们首先得到了能量本征值：  , 0,1, 2,3, 2 1  =      En = n +  n 其次，现在 H() 的方程成为： d H d dH d nH n n n 2 2 2 2 0    − + = . 不难验证下面的函数（多项式）正满足这个方程： 2 2 ( ) ( 1) e e . n n n n d H d     − = − 它称为 n 次 Hermite 多项式。也可以利用下面的生成函数来生成 Hermitian 多项式：