474 浙江大学学报（工学版 第48老 A=In 8r。F+正 (6+2√合+4证√后+2)+4派】 将得出的1表达式代入式(10)，并利用关系式：画= 品，=k8,和=k,最终组出直角绝热边界明 近布置单根冻结管时的稳态温度场的解析解为 a=a+5(a-a) (14) 式中 B-In L6(6+2)√合+4证√6+2a+4派 32解析解的数值模拟检哈 为了确认解析解推导过程的正确性及其简化处 3经镜像法映射成的四管示意医 Fig.3 Four pipes by mirror image method 理的合理性，采用成熟可靠的有限元数值计算进行 检验.本文采用ANSYS软件进行热学数值计算 y轴平行，该点坐标为(，d十) 模拟假定条件下的温度场分布，与解析解得到的结 设冻结管表面温度为，冻结管半径为r。,士 果进行对比.限于篇幅，本文仅以1-0.4m,d一Q5 体冻结温度为1，冻结管热流量为ga.根据势函数 m,台，=12m这种情祝为例来说明解析解准确性的 叠加原理，图3中冻结风域内任意点M(工，v)的热 势为冻结管与 验证，冻结管表面温度和冻结管半径取工程中常用 3根镜像管单独作用时产生的热 值，即 -70℃（考虑液氮冻结），r=0.054m 势的叠加，其表达式为 土体冻结温度取0，=0℃.由解析解式(14)得到的 (+i+C.(10) 温度场分布图见图4：通过冻结管中心沿v轴上的 温度场分布与数值模拟对比结果见图5：通过冻结 式中：r1、r、r3和r4分别为任意点到冻结管P及镜 像管J1J2和J,的距离，其表达式分别为 n--+(y=d n=++(y-d n1=√r+)+(y+d)下 0。 r=x-)+(y+d 冻土边界条件点(l,d+点)的势为 =-装[ln合+lnV后+4F+ 图4解析法得到的温度场分布图 n后+2+4+lh(+2)]+C(11) Fig.4 Temperature field calculated by analytical formul 冻结管边缘上的边界条件点(（一。，dD处的势为 =-3[In ro In (21-re)+ 1n4+(2-r)+D、++C(12) 由于%相对于d和1来说很小，对计算值的影 响也很小，可将式(12)简化为 a=-2[lnr,+ln(2)+ln(2a+下)+ 10m3 2.0 1n(2d)7+C (13) 图5 通过冻结管中心沿 轴方向的直线上温度场分 由式(11)与式(13)可以解得： 度值 以结 - Fig.5 line in y directio 其中 ugh freezing pipe cente 1004.2015chi Academic Jour al Electronic Publishing House rights e http://www.cnki.ne 图３ 经镜像法映射成的四管示意图 Ｆｉｇ．３ Ｆｏｕｒｐｉｐｅｓｂｙｍｉｒｒｏｒｉｍａｇｅｍｅｔｈｏｄ ｙ 轴平行，该点坐标为（ｌ，ｄ＋ξ１）． 设冻结管表面 温 度 为θｆ１，冻 结 管 半 径 为ｒ０，土 体冻结温度为θ０１，冻结管热流量为ｑｃ１．根据势函数 叠加原理，图３中冻结区域内任意点 Ｍ（ｘ，ｙ）的热 势Φ１ 为冻结管与３根镜像管单独作用时产生的热 势的叠加，其表达式为 Φ１ ＝－ｑｃ１ ２π（ｌｎｒ１ ＋ｌｎｒ２ ＋ｌｎｒ３ ＋ｌｎｒ４）＋Ｃ ．（１０） 式中：ｒ１、ｒ２、ｒ３ 和ｒ４ 分别为任意点到冻结管 Ｐ 及镜 像管Ｊ１、Ｊ２ 和Ｊ３ 的距离，其表达式分别为 ｒ１ ＝ （ｘ－ｌ）２ 槡 ＋ （ｙ－ｄ）２ ， ｒ２ ＝ （ｘ＋ｌ）２ 槡 ＋ （ｙ－ｄ）２ ， ｒ３ ＝ （ｘ＋ｌ）２ 槡 ＋ （ｙ＋ｄ）２ ， ｒ４ ＝ （ｘ－ｌ）２ 槡 ＋ （ｙ＋ｄ）２ ． 冻土边界条件点（ｌ，ｄ＋ξ１）的势为 Φ０１ ＝－ｑｃ１ ２πｌｎξ１ ＋ｌｎ ξ ２ ［ 槡１ ＋４ｌ２ ＋ ｌｎ （ξ１ ＋２ｄ）２ 槡 ＋４ｌ２ ＋ｌｎ（ξ１ ＋２ｄ）］＋Ｃ． （１１） 冻结管边缘上的边界条件点（ｌ－ｒ０，ｄ）处的势为 Φｆ１ ＝－ｑｃ１ ２π［ｌｎｒ０ ＋ｌｎ（２ｌ－ｒ０）＋ ｌｎ ４ｄ２ 槡 ＋（２ｌ－ｒ０）２ ＋ｌｎ ４ｄ２ 槡 ＋ｒ２ ０ ］＋Ｃ．（１２） 由于ｒ０ 相对于ｄ和ｌ来说很小，对计算值的影 响也很小，可将式（１２）简化为 Φｆ１ ＝－ｑｃ１ ２π［ｌｎｒ０ ＋ｌｎ（２ｌ）＋ｌｎ（２ ｄ２ 槡 ＋ｌ２ ）＋ ｌｎ（２ｄ）］＋Ｃ ． （１３） 由式（１１）与式（１３）可以解得： －ｑｃ１ ２π＝Φｆ１ －Φ０１ Ａ ， 其中： Ａ ＝ｌｎ ８ｄｌｒ０ ｄ２ 槡 ＋ｌ２ ξ１（ξ１ ＋２ｄ） ξ ２ 槡１ ＋４ｌ２ （ξ１ ＋２ｄ）２ ［ ］ 槡 ＋４ｌ２ ． 将得出的ｑｃ１表达式代入式（１０），并利用关系式：Φ１＝ ｋθ１、Φ０１＝ｋθ０１和Φｆ１＝ｋθｆ１，最终得出直角绝热边界附 近布置单根冻结管时的稳态温度场θ１ 的解析解为 θ１ ＝θ０１ ＋Ｂ Ａ（θｆ１ －θ０１）． （１４） 式中： Ｂ ＝ｌｎ ｒ１·ｒ２·ｒ３·ｒ４ ξ１（ξ１ ＋２ｄ） ξ ２ 槡１ ＋４ｌ２ （ξ１ ＋２ｄ）２ ［ ］ 槡 ＋４ｌ２ ． ３．２ 解析解的数值模拟检验 为了确认解析解推导过程的正确性及其简化处 理的合理性，采用成熟可靠的有限元数值计算进行 检验．本文采用 ＡＮＳＹＳ软件进行热学数值计算来 模拟假定条件下的温度场分布，与解析解得到的结 果进行对比．限于篇幅，本文仅以ｌ＝０．４ｍ，ｄ＝０．５ ｍ，ξ１＝１．２ｍ 这种情况为例来说明解析解准确性的 验证．冻结管表面温度和冻结管半径取工程中常用 值，即θｆ１＝－７０ ℃ （考虑液氮冻结），ｒ０＝０．０５４ｍ， 土体冻结温度取θ０１＝０ ℃．由解析解式（１４）得到的 温度场分布图见 图４；通过冻结管中心沿ｙ 轴 上 的 温度场分布与数值模拟对比结果见图５；通过冻 结 图４ 解析法得到的温度场分布图 Ｆｉｇ．４ Ｔｅｍｐｅｒａｔｕｒｅｆｉｅｌｄｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙａｎａｌｙｔｉｃａｌｆｏｒｍｕｌａ 图５ 通过冻结管中心沿ｙ轴方向的直线上温度场分布 与数值模拟结果对比 Ｆｉｇ．５ Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｏｆｒｅｓｕｌｔｓｏｆａｎａｌｙｔｉｃａｌｆｏｒｍｕｌａａｎｄ ｎｕｍｅｒｉｃａｌｓｉｍｕｌａｔｉｏｎａｌｏｎｇｌｉｎｅｉｎｙ ｄｉｒｅｃｔｉｏｎ ｔｈｒｏｕｇｈｆｒｅｅｚｉｎｇｐｉｐｅｃｅｎｔｅｒ ４７４ 浙 江 大 学 学 报 （工学版） 第４８卷