Awn,若rank4=n,称A为满秩矩阵〔可逆矩阵非奇异矩阵) 着 rankA<n,称A为降秩矩阵(不可逆矩阵,奇异矩阵) §32矩阵的初等变换 1.初等变换 行变换 列变换 ①对调 ②数乘(k≠0)kr kci ③倍加 +k A经过初等变换得到B,记作A B 有限认 2.等价矩阵:若Anwn→Bnwn,称Amx与Bmn等价,记作 AA B (1)自反性:A=A (2)对称性:An=Bmm→Bm兰Anw (3)传递性: AA B,Bn C 定理1AB→ ranka= rankB 证只需证明An→Bnwm→ rankA= rank B 设 ranka=r,仅证行变换之(3)的情形: a, +ka B (1)若r<min{m,n},则有 )不含:D=D=0 D含r,不含:D=D±kD/+=02 Ann , 若 rankA= n, 称 A 为满秩矩阵（可逆矩阵, 非奇异矩阵）； 若 rankA n, 称 A 为降秩矩阵（不可逆矩阵, 奇异矩阵）． §3.2 矩阵的初等变换 1. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 i j r  r i j c  c ② 数乘 ( k  0) i k r i k c ③ 倍加 i j r + k r i j c + k c Amn 经过初等变换得到 Bmn , 记作 Amn → Bmn． 2. 等价矩阵：若 Amn → Bmn 有限次 , 称 Amn 与 Bmn 等价, 记作 Amn  Bmn ． (1) 自反性： A  A (2) 对称性： Amn  Bmn  Bmn  Amn (3) 传递性： Amn  Bmn , Bmn  Cmn  Amn  Cmn 定理 1 Amn  Bmn rankA= rankB． 证 只需证明 Amn →Bmn 1次 rankA= rankB． 设 rankA= r, 仅证行变换之(3)的情形： B k A j i j r k r j i i j =                 + →                 = +            (1) 若 r  min{m,n}, 则有 ( ) 1 B Dr+ 不含 i r ： 0 ( ) 1 ( ) +1 = + = A r B Dr D ( ) 1 B Dr+ 含 i r , 不含 j r ： 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) +1 = +  + = A r A r B Dr D k D