u" =1+u+u+ 中,以=x-x+…代入,可得到 COS x 然后求sinx与1的 Cauch乘积,同样得到上述关于anx的幂级数展开。 cos x 需要向学生指出的是,利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开,我们目 前无法得到它的收敛范围,而只能知道在x=x0的小邻域中,幂级数展开是成立 的(事实上,tanx的幂级数展开的收敛范围是(-,x),它的证明需要用到复 变函数的知识)。 “代入法”经常用于复合函数,例如形如e,ln(1+f(x)等函数的求幂级数展 开问题。 例8求f(x)=emx在x=0的幂级数展开(到x4) 解以n=smx=∑()x2=x-x+…代入 ()=ein=2sn=l+sin x+I sin x+2 sin x+ a-sinx+ 即可得到 f(x)=emx=1+x+x2--x4+…,x∈(-∞,+∞)。 注对于求函数f(x)=ex在x=0的幂级数展开问题,我们不能采用以 u= cosx=1-x2 代入f(x)=∑的方法,请学生思考为什 么,并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例9求n当x的幂级数展开(到),其中函数x应理解为 SIn x f() ≠0, 1,x=0. 解首先,利用sinx的幂级数展开,可以得到 sin x 令 代入ln(1+l)=u- ,即得 SInx1− u 1 = ∑ = 1 + u + u ∞ n=0 n u 2 + … 中，以 u = +− L !4!2 42 xx 代入，可得到 cos x 1 = 1 + ( +− L !4!2 42 xx ) + ( +− L !4!2 42 xx ) 2 + … = 1 + x 2 + 24 5 x 4 + …， 然后求 sin x 与 cos x 1 的 Cauchy 乘积，同样得到上述关于 tan x 的幂级数展开。 需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目 前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x = 的小邻域中，幂级数展开是成立 的（事实上，tan x的幂级数展开的收敛范围是 (- 0 x 2 π , 2 π )，它的证明需要用到复 变函数的知识）。 “代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x) ，ln(1 + f (x))等函数的求幂级数展 开问题。 例 8 求 在 的幂级数展开( 到x x exf sin )( = x = 0 4 ) 解 以 +−= L + − == + ∞ = ∑ )!12( 6 )1( sin 3 12 0 x xx n xu n n n 代入 == ∑ ++++= +L ∞ = xxxx n x exf n n x 2 3 4 0 sin sin 24 1 sin 6 1 sin 2 1 sin1 ! sin )( ， 即可得到 ),(, 8 1 2 1 1)( sin 2 4 xxxxexf +∞−∞∈+−++== x L 。 注 对于求函数 )( = exf cos x 在 x = 0 的幂级数展开问题，我们不能采用以 2 4 −+−== L 24 1 2 1 1cos xxxu 代入 ∑ ∞ = = 0 ! cos )( n n n x xf 的方法，请学生思考为什 么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。 例 9 求ln x sin x 的幂级数展开( 到x 4 )，其中函数 x sin x 应理解为 f (x) = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = ≠ .01 ,0, sin x x x x ， 解 首先，利用 sin x 的幂级数展开，可以得到 x sin x = −+− L !5!3 1 42 xx 。 令 u = −+− L !5!3 42 xx 代入 ln (1 + u) = u - −+ L 32 32 uu ，即得 ln x sin x = ( −+− L !5!3 42 xx ) - 2 1 ( −+− L !5!3 42 xx ) 2 + … 5