§53实对称矩阵的相似矩阵 目的:对于实对称矩阵A(A=A),求正交矩阵Q(QQ=E), 使得Q'AQ=A.此时称A正交相似于对角矩阵A 1.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理6A1=A→∈R 证设Ax=4x(x≠0),x=(51,52,…5n),则有 xx=52+52+…+5n>0 xTAx=x(Ax)=x(x)=n(xx) x Ax=(x A )x=(ax)x=(ax)'x=n(r x 故A(xx)=元 (元-)(x 即=→∈ [注]λ∈R→(A-元E)x=0的解向量可取为实向量 约定:实对称矩阵的特征向量为实向量. 定理7A=A,特征值礼1≠2,特征向量依次为p1,P2,则p1⊥P2 证1=11,42=λ2P2 p1Ap2=p1(4p2)=m(A2n2)=2(pP2) nAp2=nAP2=(An1)p2=(1P1)P2=41(mP2) 故41(p1p2)=2(pp2)→DP2=0→P1⊥P2(:λ≠2) 例6设实对称矩阵A3x3的特征值λ1=1,2=3,3=-3,属于A1,2的9 §5.3 实对称矩阵的相似矩阵 目的：对于实对称矩阵 A ( ) T A = A , 求正交矩阵 Q ( ) T Q Q = E , 使得 Q AQ =  T ．此时, 称 A 正交相似于对角矩阵  ． 1．实对称矩阵的特征值与特征向量的性质 定理 6 R T A = A    ． 证 设 Ax =  x (x  0) , T 1 2 ( , , , ) x =     n , 则有 0 2 2 2 2 1 T x x =  +  ++  n  ( ) ( ) ( ) T T T T x Ax = x Ax = x  x =  x x ( ) ( ) ( ) ( ) T T T T T T x Ax = x A x = Ax x =  x x =  x x 故 ( ) ( ) ( )( ) 0 0 T T T  x x =  x x   −  x x =   −  = 即  =     R ． [注]   R  (A −  E)x = 0 的解向量可取为实向量． 约定：实对称矩阵的特征向量为实向量． 定理 7 A = A T , 特征值 1  2 , 特征向量依次为 1 2 p , p , 则 p1⊥ p2． 证 Ap1 = 1 p1 , Ap2 = 2 p2 ( ) ( ) ( ) 2 T 2 2 2 1 T 2 1 T 2 1 T p1 Ap = p Ap = p  p =  p p ( ) ( ) ( ) 2 T 2 1 1 T 2 1 1 T 2 1 T T 2 1 T p1 Ap = p A p = Ap p =  p p =  p p 故 ( ) ( ) 0 ( ) 2 1 2 1 2 T 2 1 T 2 2 1 T 1 p1 p =  p p  p p =  p ⊥ p    ． 例 6 设实对称矩阵 A33 的特征值 1 = 1, 2 = 3, 3 = −3 , 属于 1 2  , 的