热传(二)见离变量法 度7已 第十四讲(二)分离变量法 偏嶶分方程定解问题的最常用解法与分离变量法 解常做分方程定解巴时与通常蕹 先求出微分方程的特解与由线性无关的特解叠加出 通解与而后用定解 (例女 )定出叠加亲数 阶线性偏微分方程的求解问题与基本的方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求 解问题 对于二阶以及更商阶的偷登分方程定解问与外力些不同,即使可爸蕹求出撞分方 程的通解与由于通解中含待定函数与一般说来与难以直接根据定解 解偏微分方程的定解问題与就必须把求解步骤加以适当的修改 §143两端固知弦的自由振动 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动与方程及定解条件为 0<x<l,t>0. t≥0 ul=0=(x) =v(x),0≤x≤L. 性 方程和边界条件都是齐次的与而初始条件是非齐次的 我们希望求得的特解具一分离变量的形式与即 u(a, t)=X(r(t) ★将u(x,t)代入方程与即得 X(x)T"()=a2x"(x)r() 等式两端除以X(x)T(t)与 1m"(t) a2 T(t) 在这个等式中与 左端只是t的函数(换句话说与与x无关) 右端只是x的函数(换句话说与与t无关) 因此与左端和右端相等与就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数设为一入与上面的 结果就可以化成 T"(t)+a2T()=0,Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 7 ✽ ❛❜ ❝❞ (❡) ❢ ❣ ❤ ✐ ❥ ❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽❾♣qr❻s ✙ ♠ t✉✈s✭ ❻q❧♠♥♦❺❻ ❼❽✇ ✙①q②➅③❹ ④❧♠♥♦❾⑤❻ ✙⑥⑦⑧⑨ ⑩❾⑤❻ ❶❷ ④ ①❻ ✙❸❹r❺❻★✩ (❺❻❼★✩) ❺ ④❶❷ ❽❾✭ ➃❿⑦⑧❦❧♠♥♦❾❹❻ ❼❽✙➀➁❾♥s➂➅➃➄➅➃❿⑦⑧q❧♠♥♦➆❾❹ ❻ ❼❽✭ ➇➈➉❿ ❷➊➋ ➌❿❾❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽✙✗✘✦➍➍ ➎➏➐➑➒ ❷③❹ ④❦❧♠♥ ♦❾①❻ ✙⑥➈①❻ ➓➔✦→❺➣❾✙ ➃↔↕➙✙ ➛ ❷➜➝➞➟❺❻★✩❺ ④✭➅ ➠❹ ❻❦❧♠♥♦❾❺❻ ❼❽✙➄➡➢➤❹❻ ➥➦❷ ❷➧ ➨❾➩➫✭ §14.3 ➭➯➲✾➳❂ ➵➸➺➻ ❋●❍■ ➼➽➾✓ l Ð♠♥ ♦❲❧❦❧ ➚ ❯➪➶✙ ❣✾➹❲❳❨❩✓ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 < x < l, t > 0, u   x=0 = 0, u   x=l = 0, t ≥ 0, u   t=0 = φ(x), ∂u ∂t    t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ✙ ✖✗✘❨❩⑦➬➴➷❧✭ ➮➱✃ ❐❹➈❾⑤❻❒✦♠ t✉✈❾❮❰✙➐ u(x, t) = X(x)T (t). F ❄ u(x, t) ÏÐ❣✾ ✙ÑÒ X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T (t). ÓÔ♠♥Õ✎ X(x)T (t) ✙ 1 a 2 T 00(t) T (t) = X00(x) X(x) . ➨④⑤ÓÔ ✱✙ Ö ♥ ➶ ⑦ t ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ x ❞✆ ) Ý♥ ➶ ⑦ x ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ t ❞✆ ) Þ☎ ✙ Ö ♥➼Ý♥❫Ó ✙ ⑥ßàáâÓã❢⑤ä✄ x ❞✆Ðq✄ t ❞✆❧åØ✭✤✓ −λ ✙ æ❤❧ ●❱⑥➯✎➻❆ T 00(t) + λa2T (t) = 0, X00(x) + λX(x) = 0