82函数极限的性质 由迫敛性∴lm2=0 3.设imf(x)=A,limg(x)=B证明: (1)lin[f(x)±g(x)]=A±B (2)in[g(x)·f(x)]=A·B (3)imnf(x)=合(当B≠0时 证明:对任给正数e,分别存在正数δ1和82,使 当0<1x-x01<B1,有1f(x)-A1<号 当0<1x-x01<82,有1g(x)-B1<号 (1)取8=min{81,2},当0<1x-xo<8时①②同时成立 于是有 (f(x)±g(x))-(A±B)l≤f(x)-A|+g(x)-B|<e 故lim(f(x)±g(x))=A±B (2)由lmg(x)=B知,存在正数83,使g(x)在U(x0,83)上有 界,即存在正数M,对任给x∈U(x0,63),有g(x)≤M③ 取8=min{81,a2,83},当0<1x-x01<8时,①、②、③同时成立, <I g(r)11f(r)-AI+IAl.Ig(x)-B/ M+la 因而f(x)g(x)-AB|=!g(x)(f(x)-A)+A(g(x)-B) 由e的任意性知limf(x)·g(x)=A·B (3)由题知img(x)=B≠0于是imBg(x)=B2>0由局部保 号性有存在4>0,当0<1x-x01<b时,有Bg(x)>B④ 取a=min{81,82,4},当0<1x-x01<8时①②④同时成立 于是有1(x) Bf(r)-Ag(x)