小，或者甚至没有影响。Bale和Pelton〔6)详细地研究过这种多项式，也研究了其他的正 交函数。他们选择用x!来表示勒让德多项式，得到下面的方程式： EG=x1x2〔°B12+1B12(2x1-1)+2B12(6x12-6x1+1) +3B12(20x:3-30x:2+12x1-1)+4B12(70x:4 -140x:3+90x12-20X1+1)+…) (11a) 为了用对称方法处理两个组元，可以将勒让德多项式修正为下列形式： EG=X1X2〔°B:2+1B12(x1-X2)+2B:2(X12-4x1X2+X22) +3B12(x13-9x12X2+9x1X22-x23)+… +nB12 (nx:(-109 (11b) k=0 Rand〔8)已经指出由浓度参数Z12=x1-x2表示勒让德多项式可能是有利的 eG=x1x2(°B12+1B12Z12+2B12(3Z122-1)/2+3B12(SZ:23-3Z12)/2 +B12(35Z1,-30Z12+3)/8+5B12(63Z125-70Z123+15Z12)/8 +8B12(231Z12°-315Z12◆+105Z122-5)/16+7B:2(429Z127 -693Z125+315Z123-35Z12)/16+…) (11c) 在使用勒让德多项式时，所有方程式的系数都是相同的，并且它们直接和(10a)、(10b)的系 数相关，正如表2所示。但是在用来予示三元系性质时，只有对那些括号里仅仅是由(x:一x2) 组成的方程式才能得出相同的结果。方程(10a)、(10b)和(11c)正是这样的方程式，其他方 程得出不同的结果，因为它们是利用关系式x1+x2=1,由第一类方程式推导出来的，而 x:+x2=1仅仅适用于二元系。分别用V12和V21代替x,和x2就可以把这些方程式很容易地 转变为第一类形式。例如方程(11b)可作如下的变换 EG=X1X2〔°B12+'B12(V12-V21)+2B1z(v122-4v12V21+V212) +8B12(y1:3-9v122y21+9y12V212-V21)+4B12(y124 -16v123v21+36v122v212-16y12v213+v214)+…) (11d) 经过这样的变换，(11d)完全和(10a)、(10b)等价，正如已经指出的那样，对于已经由 (x:~x2)组成的方程式进行同样的变换不起任何作用。 含有勒让德多项式的表达式的缺点是计算稍微多了些。从实用的观点出发，方程(10b) 看来是最好的表达式。另一方面，勒让德多项式具有的优点是可以从实验数据来估算参数，因 为从原则上讲，基于正交性可以从一个已知参数确定另一个参数。实际上当引进一个新的参 数时，除非实验数据是密集的、有规则分布的〔6)，否则必须对先前估计的参数作一个小的 修正。此外，从拟合过程的数据中得到每个参数的标准误差，在人们用勒让德多项式进行计 算时是有意义的，并且可以分别作出判断。但是当人们用非正交的幂级数表达式进行计算时， 它们就失去意义了。此外，勒计德表达式可以通过简便地降低任何较高次项的方法来得到近似 的表达式，因此可以得出结论：这两种表达式都可以用于适当的场合，而且只要有需要可以 借助表2随时进行变换。 当确定了用何种表达式梢述二元系的信息以及用什么方法建立三元系的表达式(1川二 元系表达式简单加和的方法)后，就可以把三元系的实验数据和予示的结果进行比较。山于 实际三元系的影响，予示结果与实验数据的偏差程度取决于建立的三元系表达式方法的物理 意义与所讨论体系的相符程度。本文不打算讨论这方面的内容。在任何情况下，用下面的关 系式描述这种差别是很方便的： 98小 ， 或者甚 至没有影响 。 和 。 〔 〕详细地研 究过这 种 多项式 ， 也研 究 了其他 的正 交 函数 。 他们选择用 ，来 表示勒让 德 多项 式 ， 得 到下面 的方 程式 二 “ ， ‘ ， 一 “ ， ， “ 一 ， “ ， “ 一 ， 一 摇 ， ， ‘ 一 理 ， 一 … … 〕 为了用对 称方 法处理 两个组元 ， 可 以 将勒让 德 多项式修正为下 列形 式 〔 “ ’ ， ， 一 “ “ 一 ， “ 一 忿 一 … … · 刀 一 “ ” 一 “ 一 “ 〕 〔 〕 已经 指 出 由浓度 参数 ， ， 一 表示勒让 德多项式可 能是有利 的 〔 “ ， ‘ ， ， 一 “ ， 一 ， ‘ ， ， ‘ 一 ， “ ， “ 一 。 ， “ 一 ‘ ， “ 一 一 “ 一 … … 〕 在使用 勒让 德多项式 时 ， 所有方程 式 的系数都是相 同的 ， 并且它们 直 接和 、 的 系 数相关 ， 正如 表 所 示 。 但是 在用来予示 三 元 系性质 时 ， 只 有对那些括 号里仅仅是 由 一 组成 的方程 式才能得 出相 同的结 果 。 方程 、 和 。 正是这 样 的方程式 ， 其他方 程得 出不 同的结 果 ， 因为它们 是利 用关系式 二 ， 由第一 类方 程 式推导 出来的 ， 而 仅仅适用 于二元 系 。 分别 用 ， 和 代替 ，和 就可 以 把这些方 程 式很 容易地 转变为第一 类形 式 。 例 如方程 可 作如下 的变换 〔 “ ， ’ ， 一 ， ， 一 ， “ ， 一 一 么 一 “ ‘ ‘ 一 ， “ ， 一 ， “ ， ‘ … … 〕 经过 这样的变换 ， 完 全 和 、 等价 ， 正如 已经 指 出的 那样 ， 又寸 一 于 已经 由 一 组成 的方程 式进行 同样 的变换不 起任何 作用 。 含有勒让 德多项式 的 表达 式的缺 点是计 算稍微 多了些 。 从实用 的 观点 出发 ， 方程 看来是 最好的 表达 式 。 另一 方面 ， 勒让 德多 项式具有的 优点是可 以 从实验数据来估算参数 ， 因 为从原 则 上讲 ， 基 于正 交 性可 以 从一个 已知参数确定 另一个参数 。 实际上 当 引进一 个新 的 参 数时 ， 除非 实验 数据是 密 集的 、 有规 则 分布的 〔 〕 ， 否 则必须 对先前估计 的参数作一 个小的 修正 。 此 外 ， 从 拟合过 程 的数据 中得 到每个参数的标准误 差 ， 在 人们 用勒让 德多项式进 行计 算时是 有意义 的 ， 并且可 以 分别 作 出判断 。 但是 当人们 用非 正 交 的幂级 数 表达 式进 行计 算时 ， 它们 就 失去意义 了 。 此外 勒让 德表达式可 以 通 过 简便地 降低任何 较高次项 的方 法来得 到近似 的 表达 式 ， 因此可 以 得 出结论 这 两种表 达 式都可 以 用于适 当的场 合 ， 而且只 要有需要可 以 借助 表 随时进行 变换 。 当确定 了用何种 表达 式描 述二元 系的信息以 及用 什 么方法建立三元 系 的表达式 如 用二 元 系表达 式简单加和的 方 法 后 ， 就 可 以 把三 元 系的实验数据 和予示 的结果 进行 比较 。 山于 实际三 元 系 的影 响 ， 予示 结果 与实验数据的 偏差程度 取决于建立 的三 元 系表达 式方 法 的物 理 意 义 与所 讨论 体 系的 相 符程 度 。 本文 不 打 算 讨论这 方面 的 内容 。 在任何情 况下 ， 用 下 面 的关 系式描述这 种差 别是 很方便的