求需求量为15件时的边际收益 解需求量Q件时,销售收入为 S=P0=10Q 边际收益函数为 需求量为15件时的边际收益为 =4(元/单 1l.一气球从离开观察员500m处离地面铅直上升,其速率为140m/min.当气 球高度为500m时,观察员视线的仰角增加率是多少? 解设气球高度为h时,观察员视线的仰角为a,则 an(= 500 上式两边关于时间t求导,得 又当h=500m时,tana=1,see2a=2 d140m/min,代入上式得 da=014admm0,即观察员视线的仰角增加率是014 ad/min0. dr 12.溶液自深18cm顶直径为12cm的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm的圆 柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液.已知当溶液在漏斗中深为12cm时,其表面下 降的速率为lcm/min.问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少? 解当溶液在漏斗中表面下降ycm时,相应的圆柱形筒中溶液表面上升的高度 为h,此时正圆锥形漏斗的溶液表面下降的体积等于圆柱形筒中溶液表面上升的体 积,即 62·12-( (18-y)=x52h 上式两边关于时间t求导,得 (8-y)2 当溶液在漏斗中深为12cm时,y=6.将y=6,=1代入上式,得 =0.64(cm/min) 13.一梯子长10m,上端靠墙,下端着地,梯子顺墙下滑.当梯子下端离墙6m 时,假设梯子下端沿着地面离开墙的速率为2m/s,问此时梯子上端下降的速率是多5 求需求量为 15 件时的边际收益. 解 需求量Q 件时, 销售收入为 2 10 5 Q S PQ Q == − , 边际收益函数为 d 2 10 d 5 S Q Q = − , 需求量为 15 件时的边际收益为 15 d 4 d Q S Q = = （元／单 位）. 11. 一气球从离开观察员500m 处离地面铅直上升, 其速率为140m min . 当气 球高度为500m 时, 观察员视线的仰角增加率是多少? 解 设气球高度为 h 时, 观察员视线的仰角为α , 则 tan 500 h α = , 上式两边关于时间t 求导, 得 2 d 1d sec d 500 d h t t α α ⋅ = ⋅ , 又 当 h = 500m 时 , 2 tan 1, sec 2 α α = = , d 140m/min d h t = , 代入上式得 d 0.14(rad/min) dt α = , 即观察员视线的仰角增加率是0.14(rad/min) . 12. 溶液自深18cm 顶直径为12cm 的正圆锥形漏斗中漏入一直径为10cm 的圆 柱形筒中, 开始时漏斗中盛满了溶液. 已知当溶液在漏斗中深为12cm 时, 其表面下 降的速率为1cm min . 问此时圆柱形筒中溶液表面上升的速率为多少? 解 当溶液在漏斗中表面下降 y cm 时, 相应的圆柱形筒中溶液表面上升的高度 为 h , 此时正圆锥形漏斗的溶液表面下降的体积等于圆柱形筒中溶液表面上升的体 积, 即 1 1 18 2 22 π 6 12 π ( ) (18 ) π 5 3 33 y y h − ⋅ − ⋅ ⋅ − =⋅ ⋅ , 上式两边关于时间t 求导, 得 1 dd 2 (18 ) 25 9 dd y h y t t − = , 当溶液在漏斗中深为 12cm 时 , 6 y = . 将 d 6, 1 d y y t = = 代入上式 , 得 d 0.64(cm/min) d h t = . 13. 一梯子长10m, 上端靠墙, 下端着地, 梯子顺墙下滑. 当梯子下端离墙 6m 时, 假设梯子下端沿着地面离开墙的速率为 2m s , 问此时梯子上端下降的速率是多