Resf(2)=lm|(=-=2) lim -1 z(=-z) -2+ (z-二 14: (=-=1) ( 4: 2 其中,用了lim 二→二 指=312= ri Resf()+Resf(=2)1 解 令()=(2+42-5,()在上半平面内有奇点=2,在实轴上有 阶极点z=2。取积分闭曲线如图所示 f(=)d=(x)x+,(x)x+L(+Lf( 2riResf(2)=2m 1+i) 4(2-2)8 当取极限R→∞,r→0时,我们有 lim f(x)dx+f(x) limz/(二)=limz +42-)=0,由理1,如L/(x=0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 4 1 4 1 1 2 lim 4 1 1 2 1 lim 1 d d lim 1 2 1 d d Res ( ) lim 2 2 2 2 ε ε − = − − +  =      − − − − =         −         − − −         − − − − ⋅ − − =         − − − − − − − − =         − − =                   + + − = − ⋅ → → → → z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z f z z z z z z z z z 其中，用了 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 lim 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 = − − = − − ⋅ = − − → z z z z z z z z z z z z z z z z z z ( 1) Q z1 ⋅ z2 = [ ]       − − =       −  ⋅ −       ⋅ + = −      = − 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 Res (0) Res ( ) 1 2 2 2 2 2 2 ε ε π ε π ε π ε i i i f f z i I 2． ( )( ) ∫ ∞ −∞ + − = x x dx I 4 2 2 解: 令 ( ) z ( )z f z + − = 4 2 1 ( ) 2 ，f (z)在上半平面内有奇点 z = 2i ，在实轴上有一 阶极点 z = 2。取积分闭曲线如图所示。 ( ) ( )i i i f f z z f x x f x x f z z f z z CR Cr R r r C R = +         − = = = + + + ∫ ∫ ∫ + ∫ ∫ − − 1 4 2 2 8 1 2 iRes (2) 2 i ( )d ( )d ( )d ( )d ( )d 2 2 π π π 当取极限 R → ∞,r → 0时，我们有， ( ) ∫ ∫ ∫ ∞ + −∞ − − → →∞ + − =    + x x x f x x f x x R r r R r R d 4 (2 ) 1 lim ( )d ( )d 2 2 2 0 ， ( )( ) 0 4 2 1 lim ( ) lim 2 = + − = ⋅ →∞ →∞ z z zf z z z z Q ，由引理 1， lim ( )d = 0， ∫ →∞ f z z R CR 2