∵lim(二-2) 由引理2,我们得到 f∫(=)d 因此,f(x)x=x+)~z=z 8 88 x cos o dx(a,B,O为实常数,且a2-4B≠0,o>0) x+aar+ 解 X cos x+ ax+ o x+ax+ B 令∫(=)= +ac+ B (2)有一阶极点:=1=-+ya2-4B,=2=-.-y-4B (1)当a2-4B>0时,x,z2为实数,即它们在实轴上, 取积分闭曲线如图所示,则 f()=[+.+++0+.]yx==0 当取极限R→∞,r→0,n→0时,我们有 lim f(x)e dx= x+ aax+ limf(二)=lim =0, H Jordan lemma, lim f(=)ee==0 2+C+B lim(=-E)(=elo=lim -e-==e-,th lemma 2 mL/(=d=-=5 lim(=-E2feeer=lim e 由 lemma2Q ( )( ) 8 1 4 2 1 lim( 2) 2 2 = − + − − → z z z z ，由引理 2，我们得到 ( ) 8 0 8 1 ( )d 0 π π i f z z i Cr  − =      = − ∫ limr→ ， 因此， ( ) 8 8 1 8 ( )d - π π π = + − = ∫ ∞ ∞ i f x x i . 3． ∫ ∞ −∞ + + = x x x x x I d cos 2 α β ω （α, β,ω 为实常数，且α2 − 4β ≠ 0，ω > 0 ） 解： ∫ ∫ ∞ −∞ ∞ −∞ + + = + + = x x x xe x x x x x I i x d Re d cos 2 2 α β α β ω ω 令 +α + β = z z z f z 2 ( ) ， f (z)有一阶极点 2 4 2 2 1 α α − β z = z = − + ， 2 4 2 2 2 α α − β z = z = − − 。 (1) 当α2 − 4β > 0时， z1, z2 为实数，即它们在实轴上， 取积分闭曲线如图所示，则 ( )d ( ) d 0 1 1 2 2 3 =       = + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ f z z f z e z i z C l Cr l Cr l CR ω 当取极限 R → ∞,r1 → 0,r2 → 0时，我们有， ∫ ∫ ∞ − −∞ → → →∞ + + = x x x xe f x e x i x R R i x r r R lim ( ) d d 2 0 0 2 1 α β ω ω ， lim ( ) lim 0 2 = + + = →∞ →∞ z αz β z f z z z Q ，由 Jordan lemma，lim ( ) d = 0 ， ∫ →∞ f z e z CR i z R ω ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 lim ( ) lim z z z e z z ze z z f z e i z i z z z i z z z − = − − = → → ω ω ω Q ，由 lemma 2， 1 2 1 0 1 1 1 lim ( ) d z z z e f z e z i i z i z r Cr − = − → ∫ ω ω π ， ( ) 2 1 2 1 2 2 2 2 lim ( ) lim z z z e z z ze z z f z e i z i z z z i z z z − = − − = → → ω ω ω Q ，由 lemma 2， 3