1111 。8 贵州教育学院学报 第13卷 解1)当n=0,1,2,3,…时，2”e在复平面上处处解析。根据特性3得 中edb=0 2)当n=-1,-2,-3,…时，z”e在z=0点不解析，令n=-k,由特性4特性5，得 5t$=2e 29i,k=1 29(-1)-1 (k-,k=23,4…= 29i,=-1 (-11 (-n-1g=-2,-3,-4… 0,n=0,1,2,… 由1)，2)可得 29,n=-1 101 (-n-g29,n=-2-3,-4 例7分别按下列闭路： 1)C|z=上2)C|z-2i=1的正向求积分 解被积函数z-2D(+2司 有三个孤立奇点：z=0是二级极点，z=2和z=-2i是一级极点 1)在c|z=1内仅包含奇点z=0,将被积函数改写为 +2 z+2= 分子在单位圆内及圆上处处解析根据任意阶号数公式（特性），得 2)在C|z-2=1内仅包含孤立奇点z=2i,被积函数改写为 242z=242 z-2i 分子2+2 一在圆引z-2=1上及其内部处处解析，根据柯西积分公式（特性4），得 e $.z=$.12也-292列 e —l=T=-2ceT 4 值得注意的是：在特性25的应用中，都是被积函数∫(z)在包围积分路线C的单连域内解析或有 一个奇点的情况下进行积分的若被积函数f(z)在某个区域内不解析时，是不能用特性25去积分 的，如例2中的第二种情形，只能用积分路径C(不管是非闭曲线或简单闭曲)的参数方程把复变函数∫ (z)沿C的积分，化为对实变量的定积分去求解 本文除了特性1的应用是由己知调和函数求解析函数外，其余4个特性的应用都是求解析函数积 分的这实际上也是研究解析函数的积分方法（复变函数的积分方法还有利用留数定理等），掌握了解析 函数特性的应用，不仅掌握了怎样由调和函数求解析函数，而且还学会了复变函数积分方法 参考文献 [1西安交通大学高等数学教研室编复变函数第三版[M].北京：高等教有出版社出版，1992 ?1994-2017 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net解 1)当 n= 0, 1, 2, 3,…时 ,z n e - x在复平面上处处解析。 根据特性 3得 ∮c z n e - z dz= 0 2)当 n= - 1, - 2, - 3,…时 ,z n e - z在 z= 0点不解析 ,令 n= - k ,由特性 4、特性 5,得 ∮c z n e - z dz=∮c e - z z k dz= 2ci (k- 1)! (e - z ) (k- 1)|z= 0= 2ci, k= 1 2ci( - 1) k- 1 (k- 1)! , k= 2, 3, 4,… = 2ci, n= - 1 ( - 1) - n- 1 ( - n - 1)! , n= - 2, - 3, - 4,… 由 1) , 2)可得 ∮c z n e - z dz= 0, n= 0, 1, 2,… 2ci, n= - 1 (- 1) - n- 1 ( - n- 1)! 2ci, n= - 2, - 3, - 4,… 例 7 分别按下列闭路: 1)C: |z|= 1; 2)C: |z - 2 i|= 1的正向求积分 ∮c e z z 4 + 2z 2 dz. 解 被积函数 e z z 4 + 2z 2 = e z z 2 (z - 2 i) (z+ 2 i) 有三个孤立奇点: z= 0是二级极点 ,z= 2 i和 z= - 2 i是一级极点。 1)在 C: |z|= 1内仅包含奇点 z = 0,将被积函数改写为 e z z 4 + 2z 2 = e z z 2 + 2 z 2 分子 e z z 2 + 2 在单位圆内及圆上处处解析 ,根据任意阶导数公式 (特性 5) ,得 ∮c e z z 4 + 2z 2 dz=∮c e z z 2 + 2 z 2 = 2ci e z z 2 + 2 |z= 0= ci 2)在 C: |z - 2 i|= 1内仅包含孤立奇点 z= 2 i,被积函数改写为 e z z 4 + 2z 2 = e z z 2 (z+ 2 i) z - 2 i 分子 e z z 2 (z+ 2 i) 在圆|z - 2 i|= 1上及其内部处处解析 ,根据柯西积分公式 (特性 4) ,得 ∮c e z z 4 + 2z 2 dz=∮c e z z 2 + (z+ 2 i) z - 2 i dz= 2ci e z z 2 (z+ 2 i) |z= 2 i= - 2 4 ce 2 i . 值得注意的是: 在特性 2— 5的应用中 ,都是被积函数 f (z )在包围积分路线 C 的单连域内解析或有 一个奇点的情况下进行积分的。 若被积函数 f (z)在某个区域内不解析时 ,是不能用特性 2— 5去积分 的 ,如例 2中的第二种情形 ,只能用积分路径 C (不管是非闭曲线或简单闭曲 )的参数方程把复变函数 f (z)沿 C的积分 ,化为对实变量的定积分去求解。 本文除了特性 1的应用是由已知调和函数求解析函数外 ,其余 4个特性的应用都是求解析函数积 分的 ,这实际上也是研究解析函数的积分方法 (复变函数的积分方法还有利用留数定理等 )。掌握了解析 函数特性的应用 ,不仅掌握了怎样由调和函数求解析函数 ,而且还学会了复变函数积分方法。 参 考 文 献 [1 ]西安交通大学高等数学教研室编 .复变函数第三版 [M ].北京: 高等教育出版社出版 , 1992. · 8· 贵州教育学院学报 第 13卷