《数学分析(1,2,3)》教案 第十八章含参变量的广义积分 一致收做的定义 定义1设函数f(x,y)定义在[a,+∞c上,称1(y)=f(x,y)含参变量的无穷积分 定义2设函数f(x,y)定义在[a,+∞,cd上,若VE>0,彐A=4(E)>a,当A,A>A时,对一切 ye[e,d],成立 f(x,y)b<E或,f(x,y) 就称含参无穷积分∫。f(xy)关于yeEd]_致收敛 定义3设∫(x,y)对于[小上的每一y值,以x=b为奇点的积分存在。若v>0,彐a=a(a)>0 当0<7,m<6时,对一切y∈[e,d],成立 f(xy)<E或f(x,y)d<E 就称含参无穷积分∫(xy)关于yE小一致收敛。 二一致收敛积分的判别法 以下假定积分f(x,y)d收敛。 定理1(魏尔斯特拉斯判别法)设有函数F(x),使得 (x,y)≤F(x),a≤x<+a,csy≤d 如果积分F(x)收敛,那么「fxy)关于y∈[d]一致收敛 例:证明含参无穷积分0d在一<y<+∞内一致收敛 三一致收敛积分的性质 1.连续性定理 定理设函数f(xy)在[a,+c上连续,「f(x,y关于y∈ed一致收敛,那么 1(y)=f(x,y)是[e,小]上的连续函数。 注:在定理的条件下,有 imf(xy)=。mf(xy 即极限运算可以通过积分号 2.积分顺序交换定理 定理3设函数f(x,)在[a,+:C:上连续,f(x,)关于ye[小一致收敛,那么《数学分析（1，2，3）》教案 18-1 第十八章 含参变量的广义积分 一 一致收敛的定义 定义 1 设函数 f (x, y) 定义在 [ , ; , ] a c d +  上，称 ( ) ( , ) a I y f x y dx + =  含参变量的无穷积分。 定义 2 设函数 f (x, y) 定义在 [ , ; , ] a c d +  上，若    =    0 , A A a 0 0 ( ) , 当 0 A A A ',  时,对一切 y c d  ,  ，成立 ' ( , ) A A f x y dx    或 ( , ) A f x y dx  +   。 就称含参无穷积分 ( , ) a f x y dx +  关于 y c d  ,  一致收敛。 定义 3 设 ( , ) b a f x y dx  对于 c d,  上的每一 y 值，以 x b = 为奇点的积分存在。若    =      0 , 0 0 0 ( ) , 当 0 0 , '      时，对一切 y c d  ,  ，成立 ' ( , ) b b f x y dx    − −   或 ( , ) b b f x y dx   −   ， 就称含参无穷积分 ( , ) b a f x y dx  关于 y c d  ,  一致收敛。 二 一致收敛积分的判别法 以下假定积分 ( , ) a f x y dx +  收敛。 定理 1（魏尔斯特拉斯判别法）设有函数 F x( ) ，使得 f x y F x a x c y d ( , , , )    +   ( ) 如果积分 ( ) a F x dx +  收敛，那么 ( , ) a f x y dx +  关于 y c d  ,  一致收敛。 例：证明含参无穷积分  + 0 + 2 1 cos dx x xy 在 −  y  + 内一致收敛。 三 一致收敛积分的性质 1. 连续性定理 定 理 2 设 函 数 f (x, y) 在 [ , ; , ] a c d +  上连续， ( , ) a f x y dx +  关 于 y c d  ,  一致收敛，那么 ( ) ( , ) a I y f x y dx + =  是 c d,  上的连续函数。 注：在定理的条件下，有 ( ) ( ) 0 0 lim , lim , y y y y a a f x y dx f x y dx + + → → =   ， 即极限运算可以通过积分号。 2.积分顺序交换定理. 定理 3 设函数 f (x, y) 在 [ , ; , ] a c d +  上连续， ( , ) a f x y dx +  关于 y c d  ,  一致收敛，那么