《数学分析(1,2,3)》教案 d(xy)=j∫f(x,yt 注:在定理的条件下,累次积分可交换求积分的次序。 例:计算积分/=C"cem1bma,(p>0,b>a) 3.积分号下求导定理. 定理4设函数f(x,y),f(xy在[a,+mC4上连续,「f(xy)存在,∫。f(x,y)d关于 y∈[c,d]致收敛。那么 cy o y(,y)dr=[/,(x,y)dx 也就是微分运算可以通过积分号。 例:计算积分 sIn ax 例;证明含参量非正常积分∫在[6,+∞)上一致收敛,其中δ>0.但在区间(0,+∞)内非一致 y 收敛。 4.含参无穷积分与函数项级数的关系 定理5积分(y)=」f(x,y)在e,]上一致收敛分对任一数列{A}(4=a),A’+∞,函数项 级数∑∫f(x,y)x=∑y)在l,d上一致收敛 四欧拉(Buer)积分 介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数,即r(s)和B(p,q).它们统称为 Euler积分在积分计算等方面 它们是很有用的两个特殊函数 1.Beta函数B(P,q) (1)Beta函数及其连续性: 称(含有两个参数的)含参积分[x(1-x-(p>0,q>0)为Beta函数当p和q中至少有一个小于 1时,该积分为瑕积分。下证对p>0,q>0,该积分收敛。由于p,q<1时点x=0和x=1均为瑕点,故 把积分分成和」考虑 p≥1时为正常积分;当0<p<1时,点x=0为瑕点。由被积函数非负, xPxP(1-x)1→)1,(x→0)和1-p<1 18-2《数学分析（1，2，3）》教案 18-2 ( , ) ( , ) d d a c c a dx f x y dy dy f x y dx + + =     。 注：在定理的条件下，累次积分可交换求积分的次序。 例：计算积分  + −   − = 0 , ( 0 , ) sin sin dx p b a x bx ax I e px 。 3. 积分号下求导定理. 定理 4 设函数 f (x, y) ， ( , ) y f x y 在 [ , ; , ] a c d +  上连续， ( , ) a f x y dx +  存在， ( , ) y a f x y dx +  关于 y c d  ,  一致收敛。那么 ( , ) ( , ) y a a d f x y dx f x y dx dy + + =   ， 也就是微分运算可以通过积分号。 例：计算积分 0 sin axdx x +  。 例：证明含参量非正常积分  + 0 sin dy y xy 在 [  , +  ) 上一致收敛，其中   0 。但在区间 ( 0 , +  ) 内非一致 收敛。 4. 含参无穷积分与函数项级数的关系 定理 5 积分 ( ) ( , ) a I y f x y dx + =  在 [ , ] c d 上一致收敛  对任一数列 { } An 1 ( ) A a = , An ↗ + , 函数项 级数 1 1 1 ( , ) ( ) n n A n A n n f x y dx u y +   = =  =  在 [ , ] c d 上一致收敛。 四 欧拉（Euler）积分 介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数, 即 ( )s 和 B( p,q) .它们统称为Euler 积分.在积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数 1. Beta 函数 B( p, q) （1） Beta 函数及其连续性： 称(含有两个参数的)含参积分  − − − 1 0 1 1 x (1 x) dx p q ( p  0 , q  0 ) 为 Beta 函数。当 p 和 q 中至少有一个小于 1 时, 该积分为瑕积分。下证对 p  0 , q  0 , 该积分收敛。由于 p , q  1 时点 x = 0 和 x =1 均为瑕点，故 把积分  1 0 分成  2 1 0 和  1 2 1 考虑。  2 1 0 : p  1 时为正常积分; 当 0  p  1 时, 点 x = 0 为瑕点。由被积函数非负, (1 ) 1, ( 0 ) 1− −1 −1 → → + x x − x x p p q 和 1− p  1