《数学分析(1,2,3)》教案 (由 Cauchy判法)→积分2收敛(易见p=0时积分2发散) 2921时为正常积分,当0<p<1时,点x=1为瑕点由被积函数非负, (1-x)(1-x)x→1,(x→>1)和1-q<1 (由 Cauchy判法)→积分」收敛(易见q=0时积分」发散) 综上当p>0,9>0时积分收敛设D={(9)0<P<+,0<q<+}, 于是,积分[定义了D内的一个二元函数称该函数为Beta函数,记为B(p,q),即 B(p, q)=xP-(1-x)dx (P>0,q>0) 不难验证,B一函数在D内闭一致收敛.又被积函数在D内连续,因此B-函数是D内的二元连续函 (2)B-函数的对称性:B(P,q)=B(q,p) 由于B-函数的两个变元是对称的,因此,其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有 2.Gama函数r(s) (1)Gama函数 考虑无穷限含参积分 当0<s<1时,点x=0还是该积分的瑕点因此我们把该积分分为[+[来讨论其敛散性 ≥1时为正常积分.0<s<1时,xex>0.利用非负函数积的 Cauchy判别法,注意到 imx(xe)=1,1-s<1→当0<s<1时积分收敛(易见当s=0时,仍用 Cauchy判别法判 得积分发散)因此,S>0时积分[收敛 「:x2:xe=x"e2→0,(x→+)对s∈R成立因此积分厂对vs∈R收敛 综上,S>0时积分x2e收敛称该积分为 Euler第二型积分 Euler第二型积分定义了s∈(0,+∞) 内的一个函数,称该函数为 Gamma函数,记为r(s),即 T(s) d x F-函数是一个很有用的特殊函数 (2)T-函数的连续性和可导性 I(s)在区间(0,+∞)内非一致收敛这是因为S=0时积分发散这里利用了下面的结果:若含参广义积分《数学分析（1，2，3）》教案 18-3 ( 由 Cauchy 判法)  积分  2 1 0 收敛. ( 易见 p = 0 时积分  2 1 0 发散 ).  1 2 1 : q  1 时为正常积分; 当 0  p  1 时, 点 x =1 为瑕点.由被积函数非负, (1 ) (1 ) 1, ( 1 ) 1− −1 −1 → → − − x − x x x q q p 和 1− q  1, ( 由 Cauchy 判法)  积分  1 2 1 收敛. ( 易见 q = 0 时积分  1 2 1 发散 ). 综上, 当 p  0 , q  0 时积分  1 0 收敛. 设 D = { ( p,q) | 0  p  + , 0  q  +} , 于是, 积分  1 0 定义了 D 内的一个二元函数.称该函数为 Beta 函数, 记为 B( p, q) , 即 B( p, q) =  − − − 1 0 1 1 x (1 x) dx p q ( p  0 , q  0 ) 不难验证, B − 函数在 D 内闭一致收敛. 又被积函数在 D 内连续, 因此, B − 函数是 D 内的二元连续函 数. （2） B − 函数的对称性: B( p, q) = B(q, p) . 由于 B − 函数的两个变元是对称的, 因此, 其中一个变元具有的性质另一个变元自然也具有. 2．Gamma 函数 (s) （1）Gamma 函数 考虑无穷限含参积分  + − − 0 1 x e dx s x , ( s  0 ) 当 0 s 1 时, 点 x = 0 还是该积分的瑕点. 因此我们把该积分分为   + + 1 1 0 来讨论其敛散性 .  1 0 : s 1 时 为 正常 积 分. 0 s 1 时 , 0 1  s− −x x e . 利 用非 负 函 数积 的 Cauchy 判别法, 注意 到 lim ( ) 1, 1 1 1 1 0 − − − = −   → + x x e s s s x x 当 0 s 1 时积分  1 0 收敛. (易见当 s = 0 时, 仍用 Cauchy 判别法判 得积分发散). 因此, s  0 时积分  1 0 收敛.  + 1 : 0 , ( ) 2 1 1  = → → + − − + − x x e x e x s x s x 对 s  R 成立,.因此积分  + 1 对 s  R 收敛. 综上, s  0 时积分  + − − 0 1 x e dx s x 收敛. 称该积分为Euler 第二型积分. Euler 第二型积分定义了 s ( 0 , +  ) 内的一个函数, 称该函数为 Gamma 函数, 记为 (s) , 即 (s) =  + − − 0 1 x e dx s x , ( s  0 ).  −函数是一个很有用的特殊函数. （2）  −函数的连续性和可导性: (s) 在区间 ( 0 , +  ) 内非一致收敛.这是因为 s = 0 时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若含参广义积分