《数学分析(1,2,3)》教案 在y∈(a,b]内收敛,但在点y=a发散,则积分在(a,b]内非一致收敛但r(S)在区间(0,+∞)内闭一致 收敛即在任何[ab]<(0,+∞)上,r(s)一致收敛因为0<a<b时,对积分「,有xe≤x“"e, 而积分x“c“d收敛对积分, xe-sxb-le,而积分xc“收敛由M判法它们都 致收敛, 积分[xedx在区间ab]上一致收敛 作类似地讨论可得积分(x2c)也在区间(0,+∞)内闭一致收敛于是可得如下结论 I(s)的连续性:I(s)在区间(0,+∞)内连续 I(s)的可导性:I(s)在区间(0,+∞)内可导,且 r(s)=a(xe)k=x2c”hx 同理可得:I(s)在区间(0,+∞)内任意阶可导,且 '(s)=x-e"(hx)dx (3)I(s)的递推公式,一函数表 r(S)的递推公式:I(s+1)=sI(s)(S>0) 证s+D="xead=x(e-)hr xs-le-xdx dx=sr(s) r(1) 于是,利用递推公式得 r(2)=r(1+1)=lr(l)=1, r(3)=I(2+1)=2I(2)=2·1=2!, r(4)=I(3+1)=3I(3)=32l=3 般地有I(n+1)=nI(m)=n(n-1)I(n-1)=…=n! 可见,在Z+上,I(s)正是正整数阶乘的表达式倘定义s!=I(s+1),易见对s>-1,该定义是有意义的因 此,可视I(S+1)为(-1,+∞)内实数的阶乘这样一来,我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了(-1,+∞) 内的所有实数上,于是,自然就有O=r(0+1)=I(1)=1,可见在初等数学中规定0=1是很合理的《数学分析（1，2，3）》教案 18-4 在 y  ( a , b ] 内收敛, 但在点 y = a 发散, 则积分在 ( a , b ] 内非一致收敛.但 (s) 在区间 ( 0 , +  ) 内闭一致 收敛.即在任何 [a,b]  ( 0 , +  ) 上, (s) 一致收敛. 因为 0  a  b 时, 对积分  1 0 , 有 s x a x x e x e − − − −  1 1 , 而积分  − − 1 0 1 x e dx a x 收敛.对积分  + 1 , s x b x x e x e − − − −  1 1 , 而积分  + − − 1 1 x e dx b x 收敛.由 M—判法,它们都一 致收敛,  积分  + − − 0 1 x e dx s x 在区间 [a,b] 上一致收敛. 作类似地讨论,可得积分 x e dx s s x ( ) 1 0  − − +  也在区间 ( 0 , +  ) 内闭一致收敛.于是可得如下结论: (s) 的连续性: (s) 在区间 ( 0 , +  ) 内连续. (s) 的可导性: (s) 在区间 ( 0 , +  ) 内可导, 且   + + − − − − =    = 0 0 1 1 ( ) (x e )dx x e ln xdx s s s x s x . 同理可得: (s) 在区间 ( 0 , +  ) 内任意阶可导,且  + − −  = 0 ( ) 1 (s) x e (ln x ) dx n s x n . （3） (s) 的递推公式，  −函数表 (s) 的递推公式 : (s +1) = s(s), ( s  0 ) . 证   + + − −  + = = −  0 0 (s 1) x e dx x (e ) dx s x s x   + + − + − − − − = − + = =  0 0 1 1 0 x e s x e dx s x e dx s (s) s x s x s x .   + + − − −  = = = 0 0 1 1 (1) x e dx e dx 1 x x . 于是, 利用递推公式得: (2) = (1+1) = 1(1) = 1 , (3) = (2 +1) = 2(2) = 2 1 = 2!, (4) = (3 +1) = 3(3) = 3 2!= 3! , …………, , 一般地有 (n +1) = n(n) = n(n −1)(n −1) = = n!. 可见, 在 + Z 上, (s) 正是正整数阶乘的表达式. 倘定义 s!= (s +1), 易见对 s  −1,该定义是有意义的.因 此,可视 (s +1) 为 ( −1, +  ) 内实数的阶乘.这样一来, 我们很自然地把正整数的阶乘延拓到了 ( −1, +  ) 内的所有实数上,于是, 自然就有 0!= (0 +1) = (1) = 1, 可见在初等数学中规定 0!=1 是很合理的