§5.3三维各向同性谐振子 1.三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解 三维各向同性谐振子的势能函数是 由于V2=a2+02+02,r2=x2+y2+2,所以它的 Hamiltonian可以写成 H (a2+a2+02) H+H 其中Hx,H,H分别是沿x,y,z轴的线性谐振子的 Hamiltonian o所以三维各向同性谐振子的能级是 n+n,+n+10=(N+21ba,(N=n+几+几,n,男,=01 对应的波函数是 vx(x,y,)=vn(x)vn(y)vn(= 其中v2(x)是沿x轴的线性诸振子的量子数为n的波函数,Vn,(y),V2(=)也类似。很重要的一点是 E的简并度,不难证明它是 SN(N+1)(N+2) 此外,现在V~r2,所以根据vral定理,对任何定态都有 V=T=E/2 2.球坐标系中的解,缔合 Laguerre多项式 仍然设 u(r, 0,p)=R(r)Ym(8, ) 那么R(r)满足 dr 2 dR E--∠21(+1)h2 R=0 再令 u(r=rR(r) 则u(r)满足 E l(+1)h l dr- h 注意,即使l=0,它和一维空间中的谐振子也不同,因为(r)必须满足(0)=0,或者说,把r延拓 到-∞<r<+∞时对于r≤0的左半直线必须取(r)=+∞,所以在原来的一维谐振子能级中只有奇宇 称态才能出现,这样就使得最低能量是3/2而不是ho/2,正和在直角坐标系中得到的结果一致 问题是l>0时的情况如何。 现在直接研究R(r)也很方便。仍然像在一维谐振子中那样引进无量纲变量 p=ar, 2E 则方程变成 dr 2 dR = dr- r dr 不难证明:在p→∞时R(p)→ep2,在p→0时R(p)→p,所以可设1 §5.3 三维各向同性谐振子 1．三维各向同性谐振子在直角坐标系中的解 三维各向同性谐振子的势能函数是 1 2 2 ( ) . 2 V r r =  由于 2 2 2 2 2 2 2 2 , x y z  =  +  +  = + + r x y z ，所以它的 Hamiltonian 可以写成 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) , 2 2 H x y z H H H x y z x y z   = −  +  +  + + + = + + 其中 ˆ ˆ ˆ , , H H H x y z 分别是沿 x y z , , 轴的线性谐振子的 Hamiltonian。所以三维各向同性谐振子的能级是 3 3 , ( , , , 0,1, 2, ) 2 2 E n n n N N n n n n n n N x y z x y z x y z       = + + + = +  + + =         对应的波函数是 ( , , ) ( ) ( ) ( ), N n n n x y z     x y z x y z = 其中 ( ) x n  x 是沿 x 轴的线性谐振子的量子数为 x n 的波函数， ( ), ( ) y z n n   y z 也类似。很重要的一点是 EN 的简并度，不难证明它是 ( 1)( 2) . 2 N N N g + + = 此外，现在 2 V r ，所以根据 Virial 定理，对任何定态都有 V T E = = / 2. 2．球坐标系中的解，缔合 Laguerre 多项式 仍然设 ( , , ) ( ) ( , ), lm      r R r Y = 那么 R(r) 满足 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0. 2 2 d R dR l l E r R dr r dr r      + + + − − =     再令 u r r R r ( ) ( ), = 则 u r( ) 满足 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) 0. 2 2 d u l l E r u dr r      + + − − =     注意，即使 l = 0 ，它和一维空间中的谐振子也不同，因为 u r( ) 必须满足 u(0) 0 = ，或者说，把 r 延拓 到 −   + r 时对于 r  0 的左半直线必须取 V r( ) = + ，所以在原来的一维谐振子能级中只有奇宇 称态才能出现，这样就使得最低能量是 3 / 2  而不是 /2，正和在直角坐标系中得到的结果一致。 问题是 l  0 时的情况如何。 现在直接研究 R(r) 也很方便。仍然像在一维谐振子中那样引进无量纲变量 r, ,     = = 2 , E   = 则方程变成 2 2 2 2 2 ( 1) 0. d R dR l l R dr r dr      + + + − − =     不难证明：在  → 时 2 / 2 R( ) e   → − ，在  → 0 时 ( ) l R   → ，所以可设