R(p)=()pe2,(au(0)≠0) 那么u(p)就满足方程 (1+1-p2),+(-2-3)u=0 再做变换 则方程变为 d XY Ss (2-21-3)u=0 分析表明,只有当λ取一些特殊值的时候这个方程才有多项式解。事实上,这个方程属于合流超几何方 程。合流超几何方程的标准形式是 d-L dL +(k+1-x)+nL=0 d x 它的一般解是合流超几何级数,但是,这样的级数解不能满足波函数有限的要求。只有当参数n取非负 整数的时候,方程的解才退化为多项式,并且n就是多项式的次数。这个多项式称为缔合 Laguerre多项 式,记为l(x),也就是说,(x)满足方程 32(k+1-xdl,n=0.(n=0.12…) d 2l L(x)的“归一化”约定是它的最高次幂项为 由此不难证明1(x)的微分表达式是 分(x)=d nlx dx 所以 (x)=1,(x)=-(x-k-1),1(x)=(x2-2(k+2)x+(k+1k+2) 不妨注意:这里的k并不需要取特殊值,如果变量x∈[O,+∞),那么通常来说只要k∈R就够了,把 它延拓到复平面上也是可能的 再回到前面的问题,我们发现关于(2)的方程有多项式解的条件是 -21-3=4n1,(n2=0,1,2…) 所以 =4n1+2/+3,(n2=0,1,2,…) 或者写为 元=2N+3.(N=|+2n1=l,l+2,1+4…) 所以能级为 Ex=N+ho.(N=0,1,2…) 在N给定以后,l可以取值 =N,N-2N-4…,0.( W even) l1,(N odd) 再考虑到每个/值有2+1个简并态,就不难验证E的简并度是(N+1)(N+2)/2。这些都与直角坐标 系中算得的相同。至于波函数,不难得到径向波函数是2 2 / 2 ( ) ( ) e , ( (0) 0) l R u u     − =  那么 u( )  就满足方程 ( ) 2 2 2 2 1 ( 2 3) 0. d u du l l u d d      + + − + − − = 再做变换 2   = , 则方程变为 2 2 3 1 ( 2 3) 0. 2 4 d u du l l u d d        + + − + − − =     分析表明，只有当  取一些特殊值的时候这个方程才有多项式解。事实上，这个方程属于合流超几何方 程。合流超几何方程的标准形式是 ( ) 2 2 1 0. d L d L x k x n L dx dx + + − + = 它的一般解是合流超几何级数，但是，这样的级数解不能满足波函数有限的要求。只有当参数 n 取非负 整数的时候，方程的解才退化为多项式，并且 n 就是多项式的次数。这个多项式称为缔合 Laguerre 多项 式，记为 ( ) k L x n ，也就是说， ( ) k L x n 满足方程 ( ) 2 2 1 0. ( 0,1, 2, ) k k n n k n d L d L x k x n L n dx dx + + − + = = ( ) k L x n 的“归一化”约定是它的最高次幂项为 ( 1) ! n n x n − . 由此不难证明 ( ) k L x n 的微分表达式是 e ( ) ( e ). ! x n k n k x n k n d L x x n x dx + − = 所以 ( ) 2 0 1 2 1 ( ) 1, ( ) ( 1), ( ) 2( 2) ( 1)( 2) , 2 k k k L x L x x k L x x k x k k = = − − − = − + + + + 不妨注意：这里的 k 并不需要取特殊值，如果变量 x  +  [0, ) ，那么通常来说只要 k  就够了，把 它延拓到复平面上也是可能的。 再回到前面的问题，我们发现关于 u( )  的方程有多项式解的条件是 2 3 4 , ( 0,1, 2, ) r r  − − = = l n n 所以 4 2 3, ( 0,1, 2, ) r r  = + + = n l n 或者写为 2 3. ( 2 , 2, 4, )  = + = + = + + N N l n l l l r 所以能级为 3 . ( 0,1, 2, ) 2 E N N N    = + =     在 N 给定以后， l 可以取值 0, ( even) , 2, 4, , 1, ( odd) N l N N N N  = − −   再考虑到每个 l 值有 2 1 l + 个简并态，就不难验证 EN 的简并度是 ( 1)( 2)/ 2 N N + + 。这些都与直角坐标 系中算得的相同。至于波函数，不难得到径向波函数是