复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 效劳动单位人均消费,k()=k(为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程 A() 可变为: (n+8+gk(o) 代表性行为人的最大化问题 U(c(o)dt sk=(D)=f(k2(m)-c2(1)-(n+6+g)k(1) 给定k(0)=k0 转化:假定效用函数为CRRA,例如 6≠1 n(c),b=1 其中θ是相对风险系数,即边际效用弹性的负数。 那么e"U()=e-m() 1-sea(c(t)lex)-° P--)U(c(D) 定义y=(p-(1-0)g)为有效贴现率,因此上述最大化问题可以重新表述 为: max e-U(c(O)dt c2()2k2() D)=f(k2(1)-c(1)-(n+o+g)k2( 给定k(O)=k0 显然为了使目标函数存在最大值,必须有y>0 社会计划者解 第一步:构造现值汉密尔顿函数2 H(ce,k,;l)=eU(c2(1)+()f(k(1)-c(1)-(m++gk()(1.5) 第二步:最大值的三个必要条件 1.关于控制变量c(l) 2汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导,见附录复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 效劳动单位人均消费， ( ) ( ) ( ) e k t A t = ( )) ( ) e e = − k t c t ( ), ( ) 0 max t c t k t ∞ − ∫ ρ . .ke ( )t f (k (0) 0 e e = k t 为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程 可变为： 1 1 ( ) ln( ), c c θ θ θ θ −   − =    k t (1.3) . e ( ) ( ( ) ( ) e f − n +δ + g k t 代表性行为人的最大化问题 e U(c(t))dt . ( )) ( ) ( ) ( ) e e e s t = − t c t − n +δ + g k t 给定k k 转化：假定效用函数为 CRRA，例如 , 1 1 U c ≠ = 其中θ 是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。 那么 1 1 ( (1 ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( )) 1 1 gt t t t e g t e c t c t e c t e e e U c t θ θ ρ ρ ρ ρ θ θ θ − − − − − − − − = = = − − e U (1.4) 定义γ = − ( ( ρ 1−θ )g) 为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述 为： ( ), ( ) 0 max ( ( )) e e t e c t k t e U c t dt ∞ − ∫ γ . . . e ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) e e e s t k t = − f k t c t − n +δ + g k t 给定k k (0) 0 e e = 显然为了使目标函数存在最大值，必须有γ > 0 社会计划者解 第一步：构造现值汉密尔顿函数2 ( , , ; ) ( ( )) ( )[ ( ( )) ( ) ( ) ( )] (1.5) t e e H e e e c k λ λ t e U c t t f k t c t n δ g k t − = + − − + + γ e 第二步 ：最大值的三个必要条件： 1．关于控制变量c ( ) e t 2 汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导，见附录。 2