复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 这里所有的材料都不归属于我,除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的 对下面的资料做任何的修改和编辑,只要你正确标出她的来源。 无名氏 第一章拉姆齐模型 Frank Plumpton Ramsey Frank Plumpton Ramsey(1903-1930), British mathematician and philosopher best known remarkable contributions to epistemology semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics 第一节社会计划者解 代表性行为人 假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭,人口出生率为n>0。假定在 时间t=0,人口被标准化为1,那么t期人口L()=e 生产 假定存在不变规模收益生产函数 Y()=F(K(1),A()L() (1.1 技术进步由A()=e给定 总资本积累方程如下 K()=F(K(1),4(1)L()-6k()-C(1) 定义c()=C(O),k(O)=(为人均消费和人均资本,c:(0=C(0)为每有 A(OL() 该讲义参考了 Blanchard和 Fischer(1989),Baro和Sala-l- Martin(1995), Zilibotti和 Dirk kruger的 讲义新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化 行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭,在跨期预算约束下,选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效 用函数。这归功于 Ramsey(1928),Cass(1965)和 Koopman(1965)。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 斯旺模型中的无效的过度储蓄问题
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 这里所有的材料都不归属于我，除了键盘敲击所花的功夫。你可以为了学习目的 对下面的资料做任何的修改和编辑，只要你正确标出她的来源。 ———— 无名氏 第一章 拉姆齐模型1 Frank Plumpton Ramsey Frank Plumpton Ramsey (1903-1930), British mathematician and philosopher, best known for his work on the foundations of mathematics. But Ramsey also made remarkable contributions to epistemology, semantics, logic, philosophy of science, mathematics, statistics, probability and decision theory, economics and metaphysics. 第一节 社会计划者解 代表性行为人 假设经济中存在无限期生存的一个代表性家庭，人口出生率为 。假定在 时间 ，人口被标准化为 1，那么 期人口 n > 0 t = 0 t ( ) nt L t = e 。 生产 假定存在不变规模收益生产函数： Y t( ) = F(K(t), A( )t L( )t ) (1.1) 技术进步由 ( ) gt A t = e 给定 总资本积累方程如下： (1.2) . K t( ) = F(K(t), A( )t L( )t ) −δ K(t) −C(t) 定义 ( ) ( ) ( ) C t L t c t = ， ( ) ( ) ( ) K t L t k t = 为人均消费和人均资本， ( ) ( ) ( ) ( ) e C t A t L t c t = 为每有 该讲义参考了 Blanchard 和 Fischer（1989），Barro 和 Sala-I-Martin（1995），Zilibotti 和 Dirk,kruger 的 讲义.新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消费和储蓄是由家庭最优化 行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭，在跨期预算约束下，选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效 用函数。这归功于 Ramsey (1928)，Cass（1965）和 Koopmas（1965）。拉姆齐模型的最优条件消除了索罗 －斯旺模型中的无效的过度储蓄问题。 1
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 效劳动单位人均消费,k()=k(为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程 A() 可变为: (n+8+gk(o) 代表性行为人的最大化问题 U(c(o)dt sk=(D)=f(k2(m)-c2(1)-(n+6+g)k(1) 给定k(0)=k0 转化:假定效用函数为CRRA,例如 6≠1 n(c),b=1 其中θ是相对风险系数,即边际效用弹性的负数。 那么e"U()=e-m() 1-sea(c(t)lex)-° P--)U(c(D) 定义y=(p-(1-0)g)为有效贴现率,因此上述最大化问题可以重新表述 为: max e-U(c(O)dt c2()2k2() D)=f(k2(1)-c(1)-(n+o+g)k2( 给定k(O)=k0 显然为了使目标函数存在最大值,必须有y>0 社会计划者解 第一步:构造现值汉密尔顿函数2 H(ce,k,;l)=eU(c2(1)+()f(k(1)-c(1)-(m++gk()(1.5) 第二步:最大值的三个必要条件 1.关于控制变量c(l) 2汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导,见附录
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 效劳动单位人均消费， ( ) ( ) ( ) e k t A t = ( )) ( ) e e = − k t c t ( ), ( ) 0 max t c t k t ∞ − ∫ ρ . .ke ( )t f (k (0) 0 e e = k t 为每有效劳动单位人均资本。资本积累的方程 可变为： 1 1 ( ) ln( ), c c θ θ θ θ − − = k t (1.3) . e ( ) ( ( ) ( ) e f − n +δ + g k t 代表性行为人的最大化问题 e U(c(t))dt . ( )) ( ) ( ) ( ) e e e s t = − t c t − n +δ + g k t 给定k k 转化：假定效用函数为 CRRA，例如 , 1 1 U c ≠ = 其中θ 是相对风险系数，即边际效用弹性的负数。 那么 1 1 ( (1 ) ) ( ) ( ( ) ) ( ( )) ( ( )) 1 1 gt t t t e g t e c t c t e c t e e e U c t θ θ ρ ρ ρ ρ θ θ θ − − − − − − − − = = = − − e U (1.4) 定义γ = − ( ( ρ 1−θ )g) 为有效贴现率，因此上述最大化问题可以重新表述 为： ( ), ( ) 0 max ( ( )) e e t e c t k t e U c t dt ∞ − ∫ γ . . . e ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) e e e s t k t = − f k t c t − n +δ + g k t 给定k k (0) 0 e e = 显然为了使目标函数存在最大值，必须有γ > 0 社会计划者解 第一步：构造现值汉密尔顿函数2 ( , , ; ) ( ( )) ( )[ ( ( )) ( ) ( ) ( )] (1.5) t e e H e e e c k λ λ t e U c t t f k t c t n δ g k t − = + − − + + γ e 第二步 ：最大值的三个必要条件： 1．关于控制变量c ( ) e t 2 汉密尔顿函数的推导和庞特里亚金最大值原理的三个必要条件的推导，见附录。 2
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 aH(ce, ke, a; 1) (16) 2.关于状态变量 (0=-2(c26c2 3.关于乘子(也是资本的现值影子价格),横截性条件(TVC)。 (1)k()=0 (1.8) 将上述一阶条件展开,可得: e"U'(c2()=(1) (1.9) A(t)A(1)=f(k2(1)-(n++g) (110) lim()k(1)=0 (1.11) 第三步:化简 1.利用(19)和(110)消除A(t) 首先在(19)两边对t求导: a(0=e U(c()ce(0-yeU(c(o) (1.12) 再次利用(19),可得 (1)U"(c(D)c(D) ()U(c()y 最后,利用(110)消除A(t) Uvc2(1)c2(1) y=ff(k,(D)-(n+8+g) (1.14) 我们将(1.14)变换,表示为跨其替代弹性和真实利率的关系: Ce(ac(t)o(c( Uc()=-c:(OUf(k()-(n++g+y)(1.15) 根据定义,相对风险厌恶系数=-(c(),而跨其替代弹性σ=1日。 U'(c() 一个相关的概念是跨期替代弹性: Cs/cr d[u'(cs)/u(cn)] 跨期替代弹性是c/c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ( , , ; ) 0 e e e H c k t c ∂ λ = ∂ (1.6) 2．关于状态变量 . ( , , ; ) ( ) e e e H c k t t k λ λ ∂ = − ∂ (1.7) 3．关于乘子（也是资本的现值影子价格），横截性条件（TVC）。 lim ( ) ( ) 0 e t λ t k t →∞ = (1.8) 将上述一阶条件展开，可得： '( ( )) ( ) t e e U c t t γ λ − = (1.9) . ( )/ ( ) '( ( )) ( ) e λ λ t t = f k t − +n δ + g (1.10) lim ( ) ( ) 0 e t λ t k t →∞ = (1.11) 第三步：化简 1．利用(1.9)和(1.10)消除λ(t) 首先 在(1.9)两边对t 求导: . . ( ) ''( ( )) ( ) '( ( )) t e e t e U c t c t e U c t γ γ λ γ − − = − t e (1.12) 再次利用（1.9），可得 . . ( ) ''( ( )) ( ) ( ) '( ( )) e e e t U c t c t t U c t λ γ λ = − (1.13) 最后，利用（1.10）消除λ(t) . ''( ( )) ( ) [ ( ( )) ( )] '( ( )) e e e e U c t c t f k t n g U c t − = γ − − + + δ (1.14) 我们将（1.14）变换，表示为跨其替代弹性和真实利率的关系： . ( ) ''( ( )) ( ) ( )[ '( ( )) ( )] '( ( )) e e e e e e c t U c t c t c t f k t n g U c t = − − +δ + + γ (1.15) 根据定义，相对风险厌恶系数 ( ) ''( ( )) '( ( )) e e e c t U c t U c t θ = − ，而跨其替代弹性σ =1/θ 。 一个相关的概念是跨期替代弹性： 1 / [ '( )/ '( )] [ '( )/ '( ) ( / ) s t s t s t s t c c d u c u c u c u c d c c σ ] − = − (1.16) 跨期替代弹性是cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数。当 3
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 s→t时,σ u(c) cYc)’因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可 将(1.15)变为 (0)sc()f(k(1)-(m+6+g+y) (1.17) c2() 其中x(1)是t期的消费增长率。 2.重新表述关于(c2k)的非线性差分方程 x(0 c( )f(k(1)-(n+d+g+y) (1.18) k(1)=f(k(m)-(n++g)k2(1)-c(1)=0 稳态的描述 稳态可以表示为 closer (t (1)-(n+δ+g+y) 0 (1.20) k(1)=f(k(1)-(n++g+y)k2()=0 (1.21) 或者表示为 f"(k2()=n+6+g+y (1.22) c(D)=f(k2(1)-(n+6+g)k() (1.23)
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 s → t 时，σ = '( ) ''( ) u c cu c − ，因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此可 将（1.15）变为 ( ) c χ t . ( )t k t( ) '( (e f k c t( ) . ( ) '( ( )) ( ) ( ) ( ) e e c e c t f k t n g t c t δ γ χ θ − + + + = = (1.17) 其中 是t 期的消费增长率。 2．重新表述关于( , c k e e ) 的非线性差分方程 . ( ) '( ( )) ( ) ( ) ( ) e e c e c t f k t n g t c t δ γ χ θ − + + + = = (1.18) e ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 e e k t = − f k t n +δ + g k t − c t e = (1.19) 稳态的描述 稳态可以表示为： . ( ) '( ( )) ( ) 0 ( ) e e c e c t f k t n g c t δ γ χ σ − + + + = = = . e ( ( )) ( ) ( ) 0 e = − f k t n +δ γ + g + k t = (1.20) (1.21) e 或者表示为： t)) = n + + δ g + γ (1.22) ( ( )) ( ) ( ) e e f k t n g k t e = − +δ + (1.23) 4
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 B k=0 图1-2拉姆齐模型中的相位图 第二节市场分散解 注意,第一节和第二节在使用符号上的区别 第一节 第二节 有效变量 c2(t),k() c(t),k(t) 技术增长率 g y 时间 c(t)k(1) 请原谅,并避免混淆,因为两节的制作时间不同 1.效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少,即资源的跨期最佳分配。假定 人口M增长率为n,劳动力L等于人口数。假定初始人口为1,因此 L 假定C是t期的总消费,因此人均消费为c(r)=C()/L()
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ' e c 0 e c '' 0 c 0 e k * e k gold e k ** e k . 0 e k = . ce = 0 e c e k DD B 图 1－2 拉姆齐模型中的相位图 第二节 市场分散解 注意，第一节和第二节在使用符号上的区别 第一节 第二节 有效变量 ( ) e c t , ( ) e k t ^ c t( ), ^ k t( ) 技术增长率 g γ 时间 c t( ), k t( ) t c , t k 请原谅，并避免混淆，因为两节的制作时间不同。 1．效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少，即资源的跨期最佳分配。假定 人口 Nt 增长率为n ，劳动力 Lt 等于人口数。假定初始人口为 1，因此 nt Lt = e 2－1 假定 Ct 是t 期的总消费，因此人均消费为c t( ) = C( )t / L t( ) 。 5
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 家庭效用函数为 (cn)e 其中p为主观贴现率,(0)=∞,u(∞)=0。假定p>n,以保证当c为常数时, U是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率 假定存在两种资产,资本和债权,假定没有风险,资本市场完全竞争,因此 收益率都为n。同时存在竞争的劳动力市场,工资为w。假定总资产为A,平 均净资产为a=A/L,资产收益为ra。因此家庭的预算约束为 at=Wt+rar-Cr-na 2.非蓬齐对策条件(意义 lineare ]≥0 这意味着,在长期,一个家庭的平均债务的增长速度不能大于n-n,因此总债 务的增长速度不能超过n。我们定义nhv,因此2-4又可被写为 lima(te20 3.汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是,在跨期预算约束条件下最大化U0。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决,先写成现值汉米尔顿函数形式: H=u(x)- p-n)+u[u 其中4是资产的影子价格。一阶条件为 =0→=l(c)e(m aH →=-(r-n) limana=0 2-8 其中2一7是欧拉方程,或拉姆齐一凯恩斯最优储蓄规则。2-8是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2-6两边对时间求导得 3这种效用函数,这里的p等价于上一节中的p=p+n。因此本节稳态解的结论与第一节比较时, 要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数,实际上是拉姆齐增长模型中的两种用 法。第二节的这种用法又被称为 Benthamite felicity function(幸福函数) 其实是根据横截条件推出的 5A=wL+r4-C,因此a=d()/=a-AL,A,L,A L t li =w+ra-c-na
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 家庭效用函数为3 U u 2－2 ( ) 0 0 ( ) n t ct e ρ ∞ − − = ∫ dt 其中 ρ 为主观贴现率，u '(0) = ∞ ，u '(∞) = 0 。假定 ρ > n 4 ，以保证当c 为常数时， U 0 是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率。 假定存在两种资产，资本和债权，假定没有风险，资本市场完全竞争，因此 收益率都为 。同时存在竞争的劳动力市场，工资为 。假定总资产为 ，平 均净资产为a A ，资产收益为r a 。因此家庭的预算约束为 rt wt At t t = / Lt t ] 0 t t . a w t t = + rat − ct − na 5 2－3 2．非蓬齐对策条件（意义） 2－4 0 ( ) [ lim t r n v dv t t a e− − →∞ ∫ ≥ 这意味着，在长期，一个家庭的平均债务的增长速度不能大于 ，因此总债 务的增长速度不能超过 。我们定义 rt − n rt 0 1 t rt r t = vdv ∫ ，因此 2－4 又可被写为 ( ) [ ( ) ] 0 lim t rt n t a t e− − →∞ ≥ 2－4’ 3．汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是，在跨期预算约束条件下最大化U 。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决，先写成现值汉米尔顿函数形式： 0 2－5 ( ) ( ) [ ( ) ] n H u x e w r n a c ρ µ − − = + + − − 其中µ 是资产的影子价格。一阶条件为 ( ) 0 '( ) H n t u c e c ρ µ ∂ − − = ⇒ = ∂ 2－6 . . ( ) H r n a µ µ ∂ = − ⇒ = − − ∂ µ 2－7 lim[ t t] 0 t µ a →∞ = 2－8 其中 2－7 是欧拉方程，或拉姆齐－凯恩斯最优储蓄规则。2－8 是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2－6 两边对时间求导得 3 这种效用函数，这里的 ρ 等价于上一节中的 。因此本节稳态解的结论与第一节比较时， 要结合这个关系。之所以在第一节和第二节用两种不同的效用函数，实际上是拉姆齐增长模型中的两种用 法。第二节的这种用法又被称为 Benthamite felicity function（幸福函数） ρ ρ = n 第一节＋ 4 其实是根据横截条件推出的。 5 ，因此 . A w t t = + Lt rtAt −Ct . . . . . 2 ( )/ t t t t t t t t t t t t t A A L A L A L A a d dt w ra c na L L L L L − = = = − = + − − 6
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 u=u()ce-p-n-(P-n)u' (c) jr 由2-6,知e--n=山/u'(c),代入到2—9并将2-7代入2-9,得: u(c)c u"(c)c 为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性: dlu'(cs)/u'(cuI (c)/'(c)d(c/c) 跨期替代弹性是c/c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数 因此2-10可以写为 或 跨期替代弹性越大,表示消费者越不关心消费平滑,表示消费的增长越大。考虑 个不变跨期替代弹性的效用函数(CIES) (c) ,6>0,6≠1;t(c)=logc,6=1 其中-θ是边际效用弹性值,因此跨期替代弹性σ=1/θ。因此2-12变为 对2一7积分得: 1(1)=(O)e-n=),(0>0 因此2-8变为 °实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应,因为简单的跨期消费问题中存(c)1+r l(c+1)1+p ρ是贴现率,r取决于资本存量,即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数,这可以写 为2+=[(+刀中,O=1/a.因此跨期替代弹性越大,对利率的反应也越大
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 2－9 . . ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) n u c c e n u c e ρ µ ρ − − − − = − − ρ n t 由 2－6，知e− − ( ) ρ n t = µ / ' u (c)，代入到 2－9 并将 2－7 代入 2－9，得： . ''( ) [ ]( '( ) u c c c r u c c = − ρ ) 2－10 ''( ) '( ) u c c u c − 为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性： 1 / [ '( )/ '( )] [ '( )/ '( ) ( / ) s t s t s t s t c c d u c u c u c u c d c c σ ] − = − 2－11 跨期替代弹性是cs / ct 比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数6 。 。因此 2－10 可以写为 . 1 ( ) c c ρ σ r = + 或 . ( c r c = σ − ρ) 2－12 跨期替代弹性越大，表示消费者越不关心消费平滑，表示消费的增长越大。考虑 一个不变跨期替代弹性的效用函数（CIES） 1 1 ( ) 1 c θ u c θ − − = − ，θ > 0,θ ≠ 1；u c( ) = log c ，θ =1 2－13 其中−θ 是边际效用弹性值，因此跨期替代弹性σ =1/θ 。因此 2－12 变为 . c r c ρ θ − = 2－14 对 2－7 积分得： ( ( ) (0) t rt n µ µ t e− − = ) ，µ(0) > 0 2－15 因此 2－8 变为 6 实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应，因为简单的跨期消费问题中存在 1 '( ) 1 '( ) 1 t t u c r u c + ρ + = + ， ρ 是贴现率，r 取决于资本存量，即这一期储蓄的影响。当考虑不变跨期替代弹性的效用函数，这可以写 为 1 (1 ) 1 [ ] (1 ) t ct c r θ ρ + = + + ，θ =1/σ 。因此跨期替代弹性越大，对利率的反应也越大。 7
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 lim[are-m]=0 2-16 即无限期生命在最后的终端,资产的现值不为正。或者用有限期生命来说,在死 后留下任何正的资产都是非理性的。当a<0(负债),一个无限期的家庭希望通 过不停的借债但不偿还,来违反2-16,因此2-4就是为了确保这种链式融资 的不发生。在均衡状态,根据横截条件2-16,一个家庭不愿持有超过或等于n-n 的资产增长,否则横截条件就违反了,也就是说没有人愿意接受增长速度超过 r-n的债杈,也就意味着没有人可以发行增长速度超过r-n的债务。因此2-4 是信贷市场均衡的结果 消费 由daem]/d=aem-a(r-n)em,将at-(r-n)a=m-c两边同乘 f(d("]/ d dt=5 we-trindt-no ce-trimndr are-tr-n)+[ ce-fri-n"dt=L we-tn-n dt-a(0) 当T→∞,利用2-16,可得 Jo cein d =Jo we mdi+a(0)=w(o)+a(O)=w 2-18 由2-14可得 将2-19代入到2-18得 c(0)=w/e m(-)78-pl9+nl dr) 2-20 5.厂商 YI= F(Kl, A,L= F(KL, Li 2-21 其中A()=e", AL。写成人均的形式为 L y= L,f(kI) 2-22 其中f(k)=F(K1/AL,1)。具有下列关系7 7固定L,y对K求导:固定K,Y对L
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ( ) m[ ] 0 t rt n t t a e− − →∞ li = 2－16 即无限期生命在最后的终端，资产的现值不为正。或者用有限期生命来说，在死 后留下任何正的资产都是非理性的。当at < 0（负债），一个无限期的家庭希望通 过不停的借债但不偿还，来违反 2－16，因此 2－4 就是为了确保这种链式融资 的不发生。在均衡状态，根据横截条件 2－16，一个家庭不愿持有超过或等于r n t − 的资产增长，否则横截条件就违反了，也就是说没有人愿意接受增长速度超过 rt − n的债权，也就意味着没有人可以发行增长速度超过rt − n的债务。因此 2－4 是信贷市场均衡的结果。 4．消费 由 ，将 a r . ( ) ( ) ( ) [ ]/ ( ) r n t r n t r n t d ae dt a e a r n e − − − − − − = − − . t − ( ) − = n at wt − ct 两边同乘 e− − (r n)t 得： ( ) ( ) ( ) 0 0 0 ( [ ]/ ) T T T rt n t rt n t rt n t d at t e dt dt we dt c e dt − − − − − − = − ∫ ∫ ∫ t 即 ( ) ( ) ( ) 0 0 (0) T T rt n T rt n t rt n t T t e c e dt wte dt a − − − − − − + = ∫ ∫ a − 2－17 当T → ∞ ，利用 2－16，可得 ~ ( ) ( ) 0 0 (0) (0) (0) rt n t rt n t ct t e dt we dt a w a W ∞ ∞ − − − − = + = + = ∫ ∫ 2－18 由 2－14 可得 (1/ )[ ] 0 rt t e t c c θ −ρ = 2－19 将 2－19 代入到 2－18 得； [ (1 )/ / ] 0 (0) /( ) rt n t e d θ θ ρ θ ∞ − − + = ∫ c W t 2－20 t 5．厂商 ^ Y F t t = ( , K AtLt) = F(Kt, L ) 2－21 其中 ( ) t A t e γ = ， 。写成人均的形式为 ^ Lt = AtLt t Y L 2－22 ^ ^ ^ ^ t t = = yt t L f (k t) 其中 ^ f ( ) k F t t = (K / AtL ,1)。具有下列关系7 7 固定 L ，Y 对 K 求导；固定 K ，Y 对 L 8
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 k=f(k),a,=)-k)l2 2-23 并满足f(O)=0,f(0)=∞,f(∞)=0( Inada条件) 利润函数为 II=L F(KL, L1)-RikI-we-7 2-24 其中R是厂商向居民租赁资本的租金,R=n+δ。给定L,利润最大化为: f(k)=n+8 为了维持零利润,将2-25代入2-24,有 If(kikf(k nle/=wt 2-26 6.均衡 1).定义c=ce”,因此 (c)/(c)=c/c-y= f∫(k)-6-p 2-27 2).在均衡中,代表性家庭没有净债务,人均平均资产等于平均资本,因此a=k。 因此跨期预算约束可以写为 k=w+rk-cr-nk 2-28 因为k=ke”,所以 ki=we- +(r-n-r)kr-Cr 将2-25和2-26代入2-29,得 kI=f(k1)-(+n+8)kI-Cr 3).利用k=ke”,f(k)=n+,以及2-16,TVC条件变为 like 2-27和2-30构成在(c,k)上的动态系统。 4).在稳态中,有c)/(c)=0,(k)/k)=0,因此 f(ki)=8+p+0r
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ^ '( ) t t Y f k K ∂ = ∂ ， ^ ^ ^ [ ( ) '( )] t t t t t t Y f k k f k e L ∂ γ = − ∂ 2－23 并满足 f (0) = 0， f '(0) = ∞ ， f '(∞) = 0（Inada 条件） 利润函数为 ^ ^ ^ [ ( , ) ] t t t L F Kt Lt Rt k t wte−γ Π = − − 2－24 其中 Rt 是厂商向居民租赁资本的租金， R r t t = +δ 。给定 ，利润最大化为： ^ Lt ^ f k'( t t ) = + r δ 2－25 为了维持零利润，将 2－25 代入 2－24，有 [ ( ^ ^ ^ ) '( )] t f k k t tf k t e wt γ − = 2－26 6．均衡 1）．定义c c ^ t e−γ = ，因此 . ^ ^ ^ . '( ) /( ) / t t t t t f k ( ) c c c c δ ρ θγ γ θ − − − = − = 2－27 2）．在均衡中，代表性家庭没有净债务，人均平均资产等于平均资本，因此 。 因此跨期预算约束可以写为 at t = k k w 2－28 . t t = + rkt − ct − nkt 因为k k ^ t t te−γ = ，所以 k w 2－29 . ^ ^ ( ) t t te r n k t c γ γ − = + − − − ^ t ^ ct 将 2－25 和 2－26 代入 2－29，得 k f 2－30 . ^ ^ ^ t t = − ( ) k (γ δ + n + ) k t − 3）．利用k k ^ t t e−γ = ， ^ f k'( t t ) = + r δ ，以及 2－16，TVC 条件变为 li ^ 0 ^ ( '( ) ) m[ ] 0 t f k v n dv t k e− −δ γ − − →∞ ∫ = 2－31 2－27 和 2－30 构成在( , 上的动态系统。 ^ ^ c k t) 4）．在稳态中，有c c ， . ^ ^ t t ) /( ) = 0 . ^ ^ ( ) k k t t /( ) = 0，因此 ^ f k'( t) = + δ ρ +θγ 2－32 9
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章拉姆齐模型 ∫(k)=+p+y,被称为是修正的黄金律 cr=f(ki)-(+n+ok B 图1-2拉姆齐模型中的相位图 稳态中的消费、投资人均增长率等于y。2-32,2-33刻画的稳态需要满足 TvC,因此2-31中,r=∫(k)-δ>y+n,即稳态中的资本回报率大于增长率 从2-32可知 p>n+(1-6)y 或者 p=p n+y 其中p被称为有效主观贴现率。 由3-33可知消费在 f∫'(kr)=y+n+ 3-35 时达到最大。3-34保证了k<k,即稳态的资本小于黄金律水平,避免了资 这是由于消费以y速度增长,所以边际效用递减
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第一章 拉姆齐模型 ^ f k'( t) = + δ ρ θ+ γ ，被称为是修正的黄金律。 c f 2－33 ^ ^ t t = − ( ) k (γ + n +δ ) k ^ t 稳态中的消费、投资人均增长率等于γ 。2－32，2－33 刻画的稳态需要满足 TVC，因此 2－31 中，r f ，即稳态中的资本回报率大于增长率。 从 2－32 可知 ^ * * = − '(k ) δ γ > + n ^ c' 0 ^ c 0 ^ c'' 0 ^ k 0 ^ * k ^ gold k ^ ** k . ^ k = 0 . ^ c = 0 ^ c ^ k DD B 图 1－2 拉姆齐模型中的相位图 ρ > +n (1−θ γ) 3－34 或者 e ρ = + ρ θγ > n + γ 其中 e ρ 被称为有效主观贴现率8 。 由 3－33 可知消费在 ^ f k'( t) = γ + +n δ 3－35 时达到最大。3－34 保证了 ^ ^ * gold k k < ，即稳态的资本小于黄金律水平，避免了资 8 这是由于消费以γ 速度增长，所以边际效用递减。 10
