第三章经济增长 张涛 lusar(asina. com http://www.essrc.org/zhang 新古典增长(资本劳动替代性),假定储蓄率给定。 拉姆齐一卡斯一库瞽曼斯增长模型,家庭最优化行为、内生储蓄。 、新古典增长理论(简介) 1.生产函数 Y=F(K, L) 满足:(1)边际收益递减 (2)一次齐次 Y=F(K, L)=LF(K/L, 1)=Lf(k) y=Y/L=f(k) aK=f(k)(固定L对K求导),OY/OL=f(k)-kVk)(固定K) (3) Inada条件F(O,L)=F(K,0)=∞,F(∞,L)=F(K,∞)=0 f(0)=∞,f(∞)=0 2.资本积累条件 K=I-OK=SF(K, L)-OK 或者写为人均的形式 我们有=d(K/L)=K/L-mk=sf(k)-(d6+n)k 1-7
Investment k 图1-1 Solow-Swan模型 3.稳态 在稳态中k=0,这是由于在稳态中有常数=k/k=5f(k)/k-(+m),因此有 f(k)/k]/d=0=-{f(k)-kfVk)/k(k/k)=0,必然有k=0,因此 k=0→s(k)=(6+n)k 1-8 4.资本积累的黄金律与动态无效 oIc 图1.2资本积累的黄金律 从sf(k)=(δ+n)k,可以将消费c写为c(s)=fKk'(s)-(n+δ)k'(s),使消费 最大化的储蓄率为黄金律,因此
f'Ik (gold )=(n 斜率为 f(k) S2f(k) 储蓄率下s1f(k) 降,消费的 增加 D k 图1-3黄金率与动态无效 图1-3表示了当储蓄率(s2)大于和小于(s1)黄金率(sgoa)的情况,以及 大于黄金率的储蓄率下降后,增加均衡时的消费,以及过度路径上的消费,资本 逐渐减少。 当s>sg,称经济动态无效( Dynamic Efficiency,DE),因为人均消费一直 低于可以达到的路径。 5.过渡动态 资本增长率 k= sf()/k-(n+8) insf(k)/k]=∞, lim[sf(k)/k]=0,且sf(k)/k单调,因此与n+δ曲线有唯 的交点。图1-4反映了资本增长速度与稳态点的距离成正比。一个较大的储蓄 带来更多的资本积累。 或者由k=5f(k)-(6+n)k→(dk)/dk=sfv(k)-(+n)来进行判别(袁志刚和宋 铮,2001) 3
Y s2f()/k +σ 0 k k 1-4 Solow-Swan模型中的动态 6.相对收敛、绝对收敛 定义,对稳态的依赖(不同的储蓄率)。由1-8得 s=(n+s)k/f(k) 将1-10代入到1-9得: y=(+O(k)/k f(k)/k 1 11 因此依赖于目前的资本平均产品与稳态中的情况,当k=k,y=0 图1-4,条件收敛(不同的稳态,来自于不同的储蓄率) 、拉姆齐模型与最优经济增长 新古典经济增长模型的一个缺点就是储蓄是外生的。在这一部分我们考虑消 费和储蓄是由家庭最优化行为决定的。我们考虑一个无限期的家庭,在跨期预算 约束下,选择消费和储蓄以最大化他以及后代的效用函数。这归功于 Ramsey (1928),Cas(1965)和 Koopman(1965)。拉姆齐模型的最优条件索罗一斯旺 模型中的无效的过度储蓄问题 1.效用函数 拉姆齐问题解决的是一个国家应该储蓄多少,即资源的跨期最佳分配。假定
人口N增长率为n,劳动力L等于人口数。假定初始人口为1,因此 假定C是t期的总消费,因此人均消费为c(t)=C(t)/L(t)。 家庭效用函数为 -n)t 其中p为主观贴现率,(O)=∞,l(∞)=0。假定p>n,以保证当c为常数时, U0是有界的。因此每一代的权重决定于人口数和贴现率 假定存在两种资产,资本和债权,假定没有风险,资本市场完全竞争,因此 收益率都为n。同时存在竞争的劳动力市场,工资为w。假定总资产为A,平 均净资产为a=A/Lt,资产收益为ra。因此家庭的预算约束为 at= wt+rat-C-nat 2.非蓬齐对策条件(意义) linate ≥0 这意味着,在长期,一个家庭的平均债务的增长速度不能大于n-n,因此总债 务的增长速度不能超过n。我们定义/,因此2-4又可被写为 lima()e=]≥0 3.汉密尔顿函数与一阶条件 家庭的最优化行为可以看作是,在跨期预算约束条件下最大化U0。这个问 题可以用动态最优化的方法来解决,先写成现值汉米尔顿函数形式: H=u(r)e (p-n)+uw+(r-n)a-cl 2-5 其中是资产的影子价格。一阶条件为 0→=l'(c)en aH 2-7 in[/a]=0 1A=w+n4-C,因此a=(7.)m=:-AL:A:L:N=w+-C=m 5
其中2—7是欧拉方程,或拉姆齐一凯恩斯最优储蓄规则。2一8是横截条件。现 在我们来求出最优的消费变化。2-6两边对时间求导得 u=u(c)ce(p-n)-(p-n)u'()e(p-n) 由2-6,知e(m=u/l(a),代入到2-9并将2-7代入2-9,得: 2-10 n'(c) u"(c)c -为边际效用弹性的值。一个相关的概念是跨期替代弹性: a=- alcdu'(s)u(c)l1 2-11 跨期替代弹性是c/c比例变动造成无差异曲线斜率的相对变动比例的倒数2。当 s→t时 ,因此边际效用弹性是跨期替代弹性的负倒数。因此2 cu"(c) 10可以写为 或 跨期替代弹性越大,表示消费者越不关心消费平滑,表示消费的增长越大。考虑 个不便跨期替代弹性的效用函数(CIES) (c)=1-b,>0;a(c)=logc,O=1 2-13 其中-θ是边际效用弹性值,因此跨期替代弹性σ=1/θ。因此2-12变为 对2-7积分得: ()=(0)e 1(0)>0 2-15 2实际反映了跨期消费安排对边际效用变化的反应,因为简单的跨期消费问题中存在 (=p+),p是贴现率,r取决于资本存量,即这一期信蓄的影响 6
因此2-8变为 0 2-16 即无限期生命在最后的终端,资产的现值不为正。或者用有限期生命来说,在死 后留下任何正的资产都是非理性的。当a<0(负债),一个无限期的家庭希望通 过不停的借债但不偿还,来违反2-16,因此2-4就是为了确保这种链式融资 的不发生。在均衡状态,根据横截条件2-16,一个家庭不愿持有超过或等于n-n 的资产增长,否则横截条件就违反了,也就是说没有人愿意接受増长速度超过 n-n的债权,也就意味着没有人可以发行增长速度超过n-n的债务。因此2-4 是信贷市场均衡的结果。 消费 由d|dem]/d=aem-a(r-n)e(,将a:-(r-n)a=wt-c两边同乘 r-n)t f (d[ -" ]/d )dt=S dt are( rt-mz+ ce(t-n)tdt= we-(rt-n dt-a(O) 2-17 当T→∞,由2-16,可得 o ce t-n dt= we rt-nidt +a(0)=w(0)+a(0)=W 由2-14可得 a=Coe/9)m-pF 将2-18代入到2-19得; (0)=W(「er)ope.npdh) Yi=F(Kt, At=F(Kt, Lt) 2-21 其中A(1)=e",Lt=AL:。写成人均的形式为 Yt=L y= Ltf(kr)
其中f(k)=F(K/AML,1)。具有下列关系3 aYe aKFf'(k)',[(ki)-kf("t 并满足f(O)=0,fY0)=∞,f(∞)=0( Inada条件) 利润函数为 II=L[F(Kt, Lt)-Rtkt-wie-n] 其中R是厂商向居民租赁资本的租金,R=n+6。给定Lt,利润最大化为: 为了维持零利润,将2-25代入2-24,有 2-26 均衡 1).定义c=ce",因此 (c)/(c)=e/c-y= 2-2 2).在均衡中,代表性家庭没有净债务,人均平均资产等于平均资本,因此a=k。 因此跨期预算约束可以写为 kt= w+rk-c-nk 因为k:=kex,所以 kt= wte +(r-n-r)kt-cu 将2-25和2-26代入 得 kt=f(ki)-(+n+Okt-ca 2-30 3).利用kt=ke,TVC条件变为 2-31 2-27和2-30构成在(c,k)上的动态系统。 3固定L,Y对K求导;固定K,Y对L 8
4).在稳态中,有c)(c)=0,(k)(k)=0,因此 f(k)=8+p+er 2-32 Ct=f(ki)-(+n+dk 2-33 稳态中的消费、投资人均增长率等于y。 k=0 图1-2拉姆齐模型中的相位图 2-32,2-33刻画的稳态需要满足TvC,因此2-30中,r=f(k)-δ>y+n, 即稳态中的资本回报率大于增长率。从2-31可知 p>n+(1-b)y 3-34 由3-33可知消费在 f(k:=y+n+8 3-35 时达到最大。3-35被称为修正的黄金律。3-34保证了k<k0,即稳态的资 本小于黄金律水平,避免了资本积累过多。原因过多积累不是最优,因为减少可 以多消费;同时小于黄金律是因为有效主观贴现p+Oy,消费者又不希望牺牲当 前的消费。(分析p,θ降低的影响)。 9
分析:co(储蓄不足,违反欧拉方程,从2-32可以看出路径变化),c。(均衡 路径),"。(储蓄过多,违反TVC) 7.鞍点路径的形状 髙θ,跨期替代率低,更愿意进行消费平滑,趋于稳态的速度慢。 低θ,跨期替代率高,作为对当前高收益的反应,更愿意进行储蓄,减少消 费,趋于稳态的速度快。 highe lowe 图2一2θ对鞍点路径的影响 8.储蓄 对于C一D生产函数∫(k)=Ak“,均衡的储蓄率为 s=a(+n+o)/(p+8x+o) (证明,详细见Baro&sala-I- Martin1995,P89, AppendixB) 两种效应:替代效应,消费平滑使得储蓄率在收入较低时较低,但是较大的跨期 替代弹性,更有助于储蓄。收入效应,有助于储蓄,因为当收入增加时,当前收 入与持久性收入的差距变小,意味着平滑消费的意愿更小,储蓄率上升) 当1/θ=s,固定储蓄率,如 Solow-Swan模型 当1θ>s,跨期弹性较高,因此储蓄率一直在s之上,并趋近,由于资本增加 导致利率下降,因为跨期弹性大所以使得储蓄下降,其影响大于收入上升的影