复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 第二章OLG模型 交叠世代模型同样解决了新古典增长中的消费和储蓄问题,并作为个人的跨 期选择的结果。不同于拉姆齐模型的是,这里假定个人的生命是有限的,在同 个时期同时存在出生不同年代的人。那么是无限期生存模型的那些不足使得人们 去研究叠代模型呢?有人认为现实中的人的生命是有限的,但是我们发现当完全 互爱的代际关系,叠代模型与拉姆齐无限期解模型是等价的。其实最主要的问题 是,无限期解模型,每一期和下一期都是类似的,因此并没有凸现出,现实经济 中同时存在老人和青年,人面临一生中的储蓄,退休等生命周期问题,也不能分 析这两种人的不同消费和储蓄动机对社会保障、资本积累的影响,即在这个框架 下政府的税收政策对均衡产出和工人劳动力供给和退休决定的影响 第一节两期寿命 Diamond模型 代表性家庭生存两期。考虑一个t期出生的个人,我们用c表示他(她)在 第一期(年轻时)的消费,用cx+1表示他在第二期(老年时)的消费。家庭的 偏好为如下: U=l(cu)+(1+p)u(c2x+1) (1.1) 其中p为主观贴现率。个人只在青年的时候工作,无弹性地供给1单位劳动 力,工资为ν,在t期进行储蓄并在t+1期消费,收益率为r*1。因此他面临如 下的预算 Clt+ St= w (12) c+l=s(1+r+1) (1.3) 效用最大化的一阶条件为 l(Cu)+(1+n+1)(1+p)u(c2x+)=0 即 t(cu)1+r+1 (15) (c2x+1)1+ 即MRS=MRT。同样我们可以用外生变量w和n+1来表示s: 主要参见了布兰查德和费歇尔(1989)第三
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 1 第二章 OLG 模型1 交叠世代模型同样解决了新古典增长中的消费和储蓄问题，并作为个人的跨 期选择的结果。不同于拉姆齐模型的是，这里假定个人的生命是有限的，在同一 个时期同时存在出生不同年代的人。那么是无限期生存模型的那些不足使得人们 去研究叠代模型呢？有人认为现实中的人的生命是有限的，但是我们发现当完全 互爱的代际关系，叠代模型与拉姆齐无限期解模型是等价的。其实最主要的问题 是，无限期解模型，每一期和下一期都是类似的，因此并没有凸现出，现实经济 中同时存在老人和青年，人面临一生中的储蓄，退休等生命周期问题，也不能分 析这两种人的不同消费和储蓄动机对社会保障、资本积累的影响，即在这个框架 下政府的税收政策对均衡产出和工人劳动力供给和退休决定的影响。 第一节 两期寿命 Diamond 模型 代表性家庭生存两期。考虑一个t 期出生的个人，我们用c1t 表示他（她）在 第一期（年轻时）的消费，用c2 1 t + 表示他在第二期（老年时）的消费。家庭的 偏好为如下： 1 U uc uc tt t ( ) (1 ) ( ) 1 21 ρ − = ++ + (1.1) 其中 ρ 为主观贴现率。个人只在青年的时候工作，无弹性地供给 1 单位劳动 力，工资为wt ，在t 期进行储蓄并在t +1期消费，收益率为rt + 1 。因此他面临如 下的预算： c sw 1tt t + = (1.2) c sr 21 1 t tt + + = + (1 ) (1.3) 效用最大化的一阶条件为： uc r uc '( ) (1 )(1 ) '( ) 0 1 1 21 tt t + ++ = + + ρ (1.4) 即 1 1 2 1 '( ) 1 '( ) 1 t t t uc r u c ρ + + + = + (1.5) 即MRS MRT = 。同样我们可以用外生变量wt 和rt + 1 来表示st ： 1 主要参见了布兰查德和费歇尔（1989）第三章
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 St=Wr-Clr=S(wt, rt +1) 将方程式(14)写为 (Cn,r+1,w)=u(c)+(1+n+)1+p)n(+n+1)(-c)=0(16) 那么,通过隐函数定理,可以求出 a/at =1+ /el"(c)+(1+n+1)2(1+p)2un(c2+) (1.7) 因此00.,0≠l;u(c)=logc,b=1 因此 (1+r+1)-)0 (1+p)+(1+n+)y=0 (1.8) 当θ1,也即跨其替代弹性大于1,这意味着当跨其替代弹性较大时,利率 的上升导致个人更愿意多进行储蓄。 考虑一个新古典生产函数,要素价格由以下给出: n=f(k)-5 (1.9) f(k)-kf(k) 考虑资本市场 (1.11 或者考虑当人口增长率为n,那么1.11可变为 K+I lt 所以, s(w,n+)s(f(k)-kf(k),∫(k)-6) 1+n 在稳态时,有k=k+1=k,所以
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 2 s w c sw r t t t tt =−= 1 1 (, ) + 将方程式(1.4)写为 1 ζ ρ ( , , ) '( ) (1 )(1 ) '((1 )( )) 0 c r w uc r u r w c 11 1 1 1 1 tt t t t t t t − + ++ = ++ + + − = (1.6) 那么，通过隐函数定理，可以求出 1 2 1 1 1 21 / ''( ) 1 1 / ''( ) (1 ) (1 ) '( ) t t w ttt t s c w uc s w w c u c r uc ζ ζ ρ − + + ∂ ∂ ∂∂ = =− =+ = ∂ ∂ ∂ ∂ ++ + (1.7) 因此0 1 ≠ 0, 1 θ ；uc c ( ) log = ，θ =1 因此 (1 ) / 1 1/ (1 )/ 1 (1 ) (1 ) (1 ) t t t t r s w r θ θ θ θθ ρ − + − + + = + ++ (1.8) 当θ 1/ 1 θ ，也即跨其替代弹性大于 1，这意味着当跨其替代弹性较大时，利率 的上升导致个人更愿意多进行储蓄。 考虑一个新古典生产函数，要素价格由以下给出： r fk t t = − '( ) δ (1.9) w f k kf k t t tt = − ( ) '( ) (1.10) 考虑资本市场 Ls w r K t tt t (, ) + 1 1 = + (1.11) 或者考虑当人口增长率为n ，那么 1.11 可变为 1 1 1 1 1 ( , ) (1 ) t t tt t t t K L sw r nk L L + + + + + = =+ (1.12) 所以， 1 1 ( , ) ( ( ) '( ), '( ) ) 1 1 tt t t t t t s w r s f k kf k f k k n n + δ + − − = = + + (1.13) 在稳态时，有 * kk k t t = = + 1 ，所以
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 k=S((K)-k/()f()-。 (1.14) 1+n (1.14)隐含地定义了k。将均衡条件(113)写为 p(k,k+1)=(1+n)k+1-s(f(k)-kf(k),f(k)-d)=0(1.15) 因此 ao/ak Skf"(k) (1.16) a/ak+11+n-Sf"(k+1) 因为s符号未定,所以“的值也不定,当s>0时,“+>0。即使 dk+>0 我们仍可能会有三种情况,因此我们需要确定均衡存在、唯一的条件。 k 图2-1,储蓄与稳态 均衡稳定的条件是 因此图1-1中,k和k2是稳定的均衡资本 我们来分析在稳态时的效率。因为稳态时的人均消费为
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 3 *** * * ( ( ) '( ), '( ) ) 1 sfk kf k f k k n − −δ = + (1.14) (1.14)隐含地定义了 * k 。将均衡条件(1.13)写为 φ( , ) (1 ) ( ( ) '( ), '( ) ) 0 k k n k s f k kf k f k tt t t t t t + + 1 1 =+ − − − = δ (1.15) 因此 1 1 1 / ''( ) / 1 ''( ) t t wt t t t rt dk k s k f k dk k n s f k φ φ + + + ∂∂ − =− = ∂ ∂ +− (1.16) 因为sr 符号未定，所以 t 1 t dk dk + 的值也不定，当sr > 0 时， 1 0 t t dk dk + > 。即使 1 0 t t dk dk + > ， 我们仍可能会有三种情况，因此我们需要确定均衡存在、唯一的条件。 均衡稳定的条件是 1 | |1 t t dk dk + < (1.17) 因此图 1－1 中， * 0 k 和 * 2 k 是稳定的均衡资本。 我们来分析在稳态时的效率。因为稳态时的人均消费为 kt + 1 kt k k t t = + 1 A B C * 1 k * 2 k * 0 k 图 2－1， 储蓄与稳态
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 f(k)-(n+6)k 所以资本积累的黄金律由下式给出 f(gold )=n+8 因此如果f(k’)0 (1.21) f(k+)-(n+a)lk>0 (1.22) 例一假定效用函数为 U=log(cu)+(1+p) log(c2t+1) (123) 生产函数为 f(k)=k,0<a<1 (1.24) 可以计算出,储蓄方程 (1.25) 要素价格分别为: (1-a)k 鬥t=a (12 同时有 k (1+m)(2+p) (1.28) 稳态均衡条件可以表示为: (1-a)(k) (1+n)(2+p) (129)
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 4 ** * c fk n k = −+ ()( ) δ (1.18) 所以资本积累的黄金律由下式给出 * '( ) gold fk n = +δ (1.19) 因此如果 * fk n '( ) (1.21) ( '( ) ( )) 0 dc f k n dk tj tj + + = −+ > σ (1.22) 例一 假定效用函数为 1 Uc c tt t log( ) (1 ) log( ) 1 21 ρ − = ++ + (1.23) 生产函数为 ( ) ,0 1 t t fk kα = << α (1.24) 可以计算出，储蓄方程： 2 t t w s ρ = + (1.25) 要素价格分别为： t (1 ) w kt α = −α (1.26) 1 t t r kα α − = (1.27) 同时有 1 (1 ) (1 )(2 ) t t k k n α α ρ + − = + + (1.28) 稳态均衡条件可以表示为： * * (1 )( ) (1 )(2 ) k k n α α ρ − = + + (1.29)
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 ,当 (1.30) (1+n)(2+p) 同时有 (1-a)k c li =0 (1.32) 因此k=0不是稳态点 4(1+n)(2+p)(1+n)(2+p) 2)P=a0D)(133) 因此k=k不是稳态点 同时这也意味着,任何kog{0,k}都将收敛于k,这意味着资本存量和增长 率都有上界。如下所揭示的 (1-a)k (1.34) k+1(1-a)k k,(1+n)(2+p)→ [im k -=0 资本累积的黄金律为 (136 (1.37) n 比较两种资本积累水平,当 (1.38) (1.39) 时,经济处于动态无效。因为a和上式右边都处于(0,1),因此存在a值满足
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 5 1 * 1 (1 ) [ ] (1 )(2 ) k n α α ρ − − = + + ，当 * k ≠ 0 (1.30) 同时有 1 1 (1 ) (1 )(2 ) t t t dk k dk n α α α ρ − + − = + + (1.31) 1 0 limt t k t dk dk + → = ∞ (1.32) 因此k = 0 不是稳态点。 而 * 1 1 1 1 (1 ) (1 ) | .[ ] (0,1) (1 )(2 ) (1 )(2 ) t t t k kk t dk dk n n α α α α α α + ρ ρ − + − = = − − = =∈ ++ ++ (1.33) 因此 * k k = 不是稳态点。 同时这也意味着，任何 * k k 0∉{0, }都将收敛于 * k ，这意味着资本存量和增长 率都有上界。如下所揭示的； 1 1 (1 ) γ (1 )(2 ) t t k t k k k n α α ρ − + − = = + + (1.34) 1 1 1 (1 ) γ lim [lim ] 0 t t (1 )(2 ) t t t k k t k k k k n α α α ρ − + − ∞ →∞ →∞ − == = + + (1.35) 资本累积的黄金律为 * 1 ( ) gold k n α α δ − = + (1.36) 1 * 1 1 () [ ] gold k n α α α α δ − − = + (1.37) 比较两种资本积累水平，当 (1 ) (1 )(2 ) n n α α ρ δ − > ++ + ， (1.38) 即 (1 )(2 ) n n n δ α ρ δ + < + + ++ (1.39) 时，经济处于动态无效。因为α 和上式右边都处于(0,1) ，因此存在α 值满足
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 上式 社会计划者解: 现在我们假定存在一个社会计划者,他的福利函数为: U=(1+p)co)+∑(1+R)" Lu(cu))+(1+p)u(c2+)(140) 其中,R为社会计划者的对未来各代效用的贴现率。社会计划者面临的约束 Kr+1-K= F(Kr N)-NicI-Nr 或者 (1+n)k+1-k=∫(k) (141) 1+n 以及给定k,k+1。我们可以用约束条件(141)中的值代替目标函数中的 cn,t=0,,T-1。整理包含c2或k的项得 +u(Ccu-)+(1+p)u(c2)+(1+R)l(cn)+ c2t-1 +l(f(k-1)+k-1-(1+n)k +(1+p)-u(c2)(142) n (1+R)u(f(k)+k-(1+n)k n 对(142)中的c2和k进行微分: (1+p)-n(c2)-(1+R)(+n)-u(cn)=0 (143) 1+n)al(cu-)+(1+R)[+f(k)a(cn)=0 解释: .方程(143)是社会计划者在年轻人和老年人之间作出最优配置的条件。 我们把(43)重新表述 (1+R)u(cr +n) (145) (1+p)an'(c2) 即t期年轻人的消费和老年人的消费之间的边际替代率(经过贴现的) 等于转移率1+n,MRS=MRT。 2.把方程(144)写为:
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 6 上式。 社会计划者解： 现在我们假定存在一个社会计划者，他的福利函数为： 1 1 ( 1) 1 20 1 2 1 0 (1 ) ( ) (1 ) [ ( ) (1 ) ( )] T t t t t U uc R uc uc ρ ρ − − −+ − + = =+ + + ++ ∑ (1.40) 其中， R 为社会计划者的对未来各代效用的贴现率。社会计划者面临的约束 是： K K F K N Nc N c t t t t tt t t + − 1 1 12 −= − − (, ) 或者 2 (1 ) ( ) 1 1 1 t t t tt c nk k f k c n + −= − − + + (1.41) 以及给定k k 0 1 , T + 。我们可以用约束条件(1.41)中的值代替目标函数中的 ct T 1t, 0,..., 1 = − 。整理包含c2t 或kt 的项得： 1 1 11 2 1 2 1 1 11 2 2 1 1 ... ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) ... ... ( ( ) (1 ) ) (1 ) ( ) 1 (1 ) ( ( ) (1 ) ) ... 1 t tt t tt t t t tt t uc uc R uc c u f k k nk uc n c R u f k k nk n ρ ρ − − − − − − − − + + ++ ++ + =+ + −+ − ++ + ++ + − + − + + (1.42) 对(1.42)中的c2t 和kt 进行微分： 1 11 (1 ) '( ) (1 ) (1 ) '( ) 0 ρ uc R n uc 2 1 t t − −− + −+ + = (1.43) 1 (1 ) '( ) (1 ) [1 '( )] '( ) 0 nu c R f k u c 11 1 t tt − −+ + + + = − (1.44) 解释： 1．方程(1.43)是社会计划者在年轻人和老年人之间作出最优配置的条件。 我们把(1.43)重新表述： 1 1 1 2 (1 ) '( ) (1 ) (1 ) '( ) t t R uc n ρ u c − − + = + + (1.45) 即t 期年轻人的消费和老年人的消费之间的边际替代率（经过贴现的） 等于转移率1+ n，MRS MRT = 。 2．把方程(1.44)写为：
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 -ln(u-)+(1+n)-(1+R)+f(k)a(cn)=0(146) 即在t-1时期减少一单位消费使得效用减少u(cu-1),但是通过资本 积累可以在t期增加效用(1+n)-(1+R)[1+∫(k)u'(c),并保持总效用水 平不变 结合(143)和(144),可以得到 (cu-1)+(1+r)(1+p)'(cx)=0 因此得到了和市场经济中一样的私人跨期消费安排的条件。考虑稳态 (1+p)u(c)-(1+R)(1+n)u(c)=0 +f(k)=(1+m)(1+R) (148)又被称为修正的黄金律。 第二节社会保障与资本积累 基金制:年轻人在时期缴纳的社会保障金被用于投资,在t+1期连同利 息返还给不再年轻的老年人,社会保障金的收益率为r+1。 现收现付制:把t时期年轻人缴纳的社会保障金直接转移给当前的老年 人,因此收益率为n 我们通过一个例子来分析基金制和现收现付制对资本积累的不同影响 考虑如下 (a)基金制 MarU(t=log cI +(1+p) log c2t+ s.tcu=wt-s-d (1+r+1(s2+d) k+1(1+n)=s+dh (b)现收现付制 MaxU(t=log cu+(+p) log c21+1 stCu= Wt-si-d
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 7 1 1 uc n R f k uc '( ) (1 ) (1 ) [1 '( )] '( ) 0 11 1 t tt − − − ++ + + = − (1.46) 即在t −1时期减少一单位消费使得效用减少u c'( ) 1 1 t − ，但是通过资本 积累可以在t 期增加效用 1 1 (1 ) (1 ) [1 '( )] '( ) n R f k uc t t 1 − − +++ ，并保持总效用水 平不变。 结合(1.43)和(1.44)，可以得到： uc r uc '( ) (1 )(1 ) '( ) 0 11 2 tt t − ++ + = ρ 因此得到了和市场经济中一样的私人跨期消费安排的条件。考虑稳态： 1 11 * * (1 ) '( ) (1 ) (1 ) '( ) 0 ρ uc R n uc − −− + −+ + = (1.47) * 1 '( ) (1 )(1 ) + =+ + f k nR t (1.48) (1.48)又被称为修正的黄金律。 第二节 社会保障与资本积累 基金制：年轻人在t 时期缴纳的社会保障金被用于投资，在t +1期连同利 息返还给不再年轻的老年人，社会保障金的收益率为rt + 1 。 现收现付制：把t 时期年轻人缴纳的社会保障金直接转移给当前的老年 人，因此收益率为n 。 我们通过一个例子来分析基金制和现收现付制对资本积累的不同影响。 考虑如下： (a)基金制 1 MaxU t c c ( ) log (1 ) log 1 21 t t ρ − = ++ + stc w s d . . 1t tt t = − − c r sd 21 1 t t tt + + = (1 )( ) + + k n sd t tt + 1(1 ) + = + (b)现收现付制 1 MaxU t c c ( ) log (1 ) log 1 21 t t ρ − = ++ + stc w s d . . 1t tt t = − −
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 (1+r1+)+(1+n)d k+1(1+n)=s 显然在基金制下,私人用于储蓄和缴纳保障金所获得收益都是r+1,且储 蓄和保障金的分配并不影响资本积累,因为他们都转化为资本,所以引进基 金制并不改变原来的资源配置。 所以我们主要研究现收现付制,一阶条件为 1- (2.1) 利用预算约束,可以写为 sf(1+r+1)+(1+n)d1+n+ (2.2) 我们可以把储蓄表示为 s(wt, rt+1) -[w;-(1 (1+p)(1+n 结合 (2.5) 得到 k (1+p)(1+n) +1= (26) (1+m)(2+p) 1+ak 与(128)相比较,可以发现比原来要低,同时稳态资本积累也比原来 低,我们可以从图2-2看出。 如果条件(1.39)满足,那么最初的稳态处于动态无效的水平,那么通过引 进现收现付制的社会保障制度,可以增加当期老人的消费,同时降低了资本 积累,增加了未来各代人的消费。相反,如果条件(1.39)不满足,那么最初 的稳态处于动态有效,引入现收现付制,当期老年人可以获益,但是由于新 的稳态资本在低于黄金律水平资本存量的区间,比原来更低,所以未来各代 的福利降低
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 8 c s r nd 21 1 t tt t + + = (1 ) (1 ) + ++ k ns t t + 1(1 ) + = 显然在基金制下，私人用于储蓄和缴纳保障金所获得收益都是rt + 1 ，且储 蓄和保障金的分配并不影响资本积累，因为他们都转化为资本，所以引进基 金制并不改变原来的资源配置。 所以我们主要研究现收现付制，一阶条件为 21 1 1 1 1 t t t c r c ρ + + + = + (2.1) 利用预算约束，可以写为 (1 ) (1 ) 1 1 1 1 tt t t tt t s r nd r wsd ρ + + ++ + + = −− + (2.2) 我们可以把储蓄表示为 1 1 1 (1 )(1 ) ( , ) [ (1 ) ] 2 1 t tt t t t n s sw r w d r ρ ρ + + + + = = −+ + + (2.3) 结合 t (1 ) w kt α = −α (2.4) 1 t t r kα α − = (2.5) 得到： 1 1 1 1 (1 )(1 ) [(1 ) (1 ) ] (1 )(2 ) 1 t t t t n k kd n k α α ρ α ρ α + − + + + = − −+ ++ + (2.6) 与(1.28)相比较，可以发现 t 1 t dk dk + 比原来要低，同时稳态资本积累也比原来 低，我们可以从图 2－2 看出。 如果条件(1.39)满足，那么最初的稳态处于动态无效的水平，那么通过引 进现收现付制的社会保障制度，可以增加当期老人的消费，同时降低了资本 积累，增加了未来各代人的消费。相反，如果条件(1.39)不满足，那么最初 的稳态处于动态有效，引入现收现付制，当期老年人可以获益，但是由于新 的稳态资本在低于黄金律水平资本存量的区间，比原来更低，所以未来各代 的福利降低
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 k= ke k r A:非现收现付 B:非现收现付 图2-2,社会保障与资本积累 第三节 Diamond模型下的财政政策 第四节迭代模型中法定货币的引入
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 9 第三节 Diamond 模型下的财政政策 第四节 迭代模型中法定货币的引入 kt + 1 kt k k t t = + 1 k1 * 2 k * 0 k 图 2－2， 社会保障与资本积累 A ：非现收现付 B ：非现收现付