厦门大学高等代数教案网站IP地址:59.77.1.116;域名: gdjpkc. xmu. edu.cn §6.2对角化 教学目的与要求掌握矩阵(线性变换)可对角化的定义;理解和计算特征值的 代数重数与几何重数;掌握可对角化的等价命题;能判断一个矩阵是否可对角化, 在可对角化时将其对角化 可对角化定义 定义设φ是数域K上的n维线性空间V的线性变换,若存在V的一组基, 使得φ在该基下的表示矩阵为对角阵,则称φ是可对角化的 定义设A是数域K上n阶方阵,若存在可逆阵P∈KXn,使得P-AP为 对角阵,则称A是可对角化矩阵 注1若φ在某组基下的表示矩阵为对角阵,则对角元在不考虑排列顺序条件 下是唯一确定的,他们恰是∫(λ的所有特征值 注2若A是可对角化矩阵,即存在可逆阵P∈K×,使得P-AP为对角 阵.则P的列向量恰为A的特征向量 注3设A在C上可对角化,则A未必在Kmx上可对角化,因为它可能 在K上没有n个特征值.例A=(01 在C上特征值为a,-i,但没有实特 征值 二.特征子空间的直和 命题设A1,A2…,λ是数域K上n维线性空间V上线性变换φ的不同特征 值,V为φ属于特征值入的特征子空间,则 Vx1+Vx2+…+V=VA1VA2田……V 证明对k用数学归纳法.若k=1,则结论显然成立.现设结论对k-1个特 征值A1,A2,……,A-1,它们相应的特征子空间V1,W2…+V1之和是直和.要 证V1+W2+…+Vk是直和,只需证明Vx∩(Wx1+V2+…+Wk-1)=0即_%/F ; IP E 59.77.1.116; 7 gdjpkc.xmu.edu.cn §6.2 #E9 Q`YOdaZ <J> (!:) M#E9!-QI5>?D I5=6I<M#E9d gj"(0J>-M#E9￾ 9M#E9zDk#E9
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M#E9!- P y ϕ 6 K w n !NA V !:￾u9 V (M;￾ | ϕ 9.; ~J>#E>￾: ϕ M#E9
P ’ y A 6 K w n G*>￾u9Mh> P ∈ Kn×n , | P −1AP  #E>￾: A M#E9J>
g 1 u ϕ 9eM; ~J>#E>￾:#E89 L[iW#ÆC (r!￾ `l fϕ(λ) 3?D
g 2 u A M#E9J>￾<9Mh> P ∈ Kn×n , | P −1AP #E >
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g 3 y A 9 C n×n wM#E9￾: A 9 Kn×n wM#E9￾/ Mg 9 K w^3 n 0?D
S A =  0 1 −1 0  9 C w?D i, −i, ^3{ ?D
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?LNAC5 X\ y λ1, λ2 · · · , λk 6 K w n !NA V w!: ϕ  ? D￾ Vλi  ϕ
4?D λi ?LNA￾: Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk . fW # k 1$4f(
u k = 1, :H\sÆT
yH\# k − 1 0 ?D λ1, λ2, · · · , λk−1, `0?LNA Vλ1 , Vλ2 , · · · + Vλk−1 B5C5
'  Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk C5￾F"b Vλk ∩ (Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk−1 ) = 0 < 1