可.设v∈V∩(V Vx-1),则 V入,1≤i≤k (1) 将上式两边作用p,得 (v)=y(1)+y(v2)+…+(k-1) (1)两边同乘以λk,减去上式,得 0=(k-A1)1+(A-A2)2+…+(Ak-入k-1)k-1 由归纳假设,V1+V2+…+V1是直和,因此(λ-A)2=0,而入-A≠0 所以v=0,1≤i≤k-1,代入(1)式得υ=0.故命题得证.口 命题A∈K,A1,A,……,λk∈K是A的互异特征值,V为相应特征子空 间,则V1+V2+…+V=Vx1Vx2…由V 推论1线性变换φ属于不同特征值的特征向量必线性无关. 推论1矩阵A属于不同特征值的特征向量必线性无关 推论2线性变换φ有n个不同特征值,则必存在V的某个基,使φ在该基 下的表示矩阵为对角阵(必可对角化),反之未必 推论2矩阵A在K上有n个不同特征值,则必存在可逆矩阵P,使P-AP 为对角阵(A必可对角化),反之未必 线性变换的代数重数与几何重数 命题设φ是n维线性空间V的线性变换,λ是φ的特征值.设A是φp的 特征多项式的m重根,A0的特征子空间V的维数为t,则t≤m 证明设51,52,……,5t是V。的一组基,由定义知φ(5)=M05,1≤i≤t.将 5t扩为V的一组基51,52,……,5t,5t+1,…,5n,则y在该基下的表示矩阵 为 A Aolt AlM
y v ∈ Vλk ∩ (Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk−1 ), : v = v1 + v2 + · · · + vk−1, vi ∈ Vλi , 1 ≤ i ≤ k − 1 (1) Dw}UN1 ϕ,  ϕ(v) = ϕ(v1) + ϕ(v2) + · · · + ϕ(vk−1), λkv = λ1v1 + λ2v2 + · · · + λk−1vk−1, (1) U* λk, Bpw}￾ 0 = (λk − λ1)v1 + (λk − λ2)v2 + · · · + (λk − λk−1)vk−1. 24f?y￾ Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk−1 C5￾/ (λk − λi)vi = 0, & λk − λi 6= 0, * vi = 0 , 1 ≤ i ≤ k − 1, t (1) } v = 0. 2d 
2 X\’ A ∈ Kn×n ,λ1, λ2, · · · , λk ∈ K  A 8.?D￾ Vλi 0?LN A￾: Vλ1 + Vλ2 + · · · + Vλk = Vλ1 ⊕ Vλ2 ⊕ · · · ⊕ Vλk . ^V 1 !: ϕ
4 ?D? V!3
^V 1’ J> A
4 ?D? V!3
^V 2 !: ϕ 3 n 0 ?D￾:9 V e0;￾| ϕ 9.;  ~J>#E> (ϕ M#E9), )B
^V 2’ J> A 9 K w3 n 0 ?D￾:9MhJ> P, | P −1AP #E> (A M#E9), )B
v
!:I5=6I X\ y ϕ  n !NA V !:￾ λ0  ϕ ?D
y λ0  ϕ  ?%} m I1￾ λ0 ?LNA Vλ0  t, : t ≤ m. fW y ξ1, ξ2, · · · , ξt  Vλ0 (M;￾2!-A ϕ(ξi) = λ0ξi , 1 ≤ i ≤ t. D ξ1, ξ2, · · · , ξt O V (M; ξ1, ξ2, · · · , ξt , ξt+1, · · · , ξn, : ϕ 9.; ~J>  A =  λ0It A12 0 A22  n×n , 2